...над гнездом...

Loadour Earrowwing

Previous Entry Share Next Entry
Топология и логика - 2009
red dragon
az118
Пусть T - топ.пространство, A - его область, -A = T-A - дополнение области A,
k(A) - ядро области A, c(A) - замыкание области A, b(A) - граница области A,
g_in(A) - внутренняя грань области A, g_ex(A) - внешняя грань области A.

Область открыта, если, и только если, она совпадает со своим ядром.
Область замкнута, если, и только если, она совпадает со своим замыканием.
Граница любой области замкнута.

Ядра обеих граней любой области пусты: k(g_in(A)) = k(g_ex(A)) = 0.
Но ядро границы может быть непустым: k(b(A)) >= 0.
В общем, k(A+B) >= k(A)+k(B).

Операторы ядра и замыкания дуальны,  c(-A) = -k(A),
также как пустая область 0 и само топ.пространство T,
полностью определяемое одним из операторов с аксиомами
k(k(A)) = k(A); k(A*B) = k(A)*k(B); k(A+B) >= k(A)+k(B); k(0) = 0k(T) = T; k(A) <= A  для ядра и
c(c(A)) = c(A); c(A+B) = c(A)+c(B); c(A*B) <= c(A)*c(B); c(0) = 0; c(T) = TA <= c(A) для замыкания.
Если область открыто-замкнута, данные операторы тождественны.

Тогда T = k(A) + b(A) + k(-A) = c(A) + k(-A) = k(A) + c(-A); 
b
(A) = b(-A) = g_in(A) + g_ex(A) = c(A)*c(-A);  g_in(A) = g_ex(-A);  g_ex(A) = g_in(-A);
A = k(A) + g_in(A);  c(A) = A + g_ex(A) = k(A) + b(A); c(-A) = -k(A);
k(k(A)) = k(A); k(A*B) = k(A)*k(B); k(A+B) >= k(A)+k(B); c(0) = k(0) = 0;
c(c(A)) = c(A); c(A+B) = c(A)+c(B); c(A*B) <= c(A)*c(B); c(T) = k(T) = T;
k(A) <= A <= c(A).

Стало быть, в общем случае топология разбивает топ.пространство
относительно произвольной области A на три непересекающиеся области:
- ядро k(A) - твердое (необходимость) утверждение A,
- ядро дополнения k(-A) - твердое (необходимость) отрицание -A и
- границу b(A) - пересечение замыканий - возможность и утверждения, и отрицания.
Замыкания c(A) и c(-A) суть возможности утверждения и отрицания.

Основной закон: c(-A) = -k(A) - возможность отрицания есть отрицание необходимости.
Обратный закон: -c(A) = k(-A) - отрицание возможности есть необходимость отрицания.

Следовательно, логика, индуцированная топологией,
в общем случае 3-значна с нарушением закона исключенного третьего.
Здесь необходимость всегда не больше возможности и пространство связанно,
если границы всех его собственных областей непустые.

Если все границы пусты, логика становится 2-значной,
возможность всегда совпадает с необходимостью, всякая область
совпадает со своими ядром и замыканием, т.е. открыта-замкнута, и
пространство распадается на свои  элементы, т.е. абсолютно несвязанно.
Основной и обратный законы становятся одной тавтологией.
Что полностью соответствует идеалу Аристотеля.
и куда падает современность.

добавление:
Окрестность области A - область, ядро которой содержит область A:
если G - окрестность области A, то  A <= k(G) <= G.

Пограничная область области A - подобласть границы области A.

Любая окрестность пограничной области B области A пересекает область A и ее дополнение -A.
Действительно, если G - окрестность области B, то ядро k(G) пересекает обе грани области A, т.к. в противном случае ядро k(G) вместе с B должно было бы целиком находиться либо в k(A), либо в k(-A), что противоречит пограничности B. Стало быть, k(G) пересекает область A и ее дополнение -A.

Надядро sk(A) области A  - минимальная окрестность области A: A <= k(sk(A)) = sk(A)

замечание:
Топология и логика всегда опираются на пространство
с булевой алгеброй, которая, в свою очередь, является
дистрибутивной MV-алгеброй. Логический вывод есть движение
от посылок к следствию в логическом пространстве.
Интуиция же есть не "ползание" по его тропам,
но "визуальное" восприятие его горизонтов.
иногда с высоты орлиного полета.


Забвение Бытия у Аристотеля


  • 1
Если рассматривать только конечные множества, то они могут быть разбиты на подмножества, пересечения замыканий которых пусты. Отсюда - двузначная логика. ИЛи я что-то упустил?

Для конечных множеств это кажется тривиальным,
хотя оказывается не всегда: ядерное пространство

есть теорема Цермело о возможности вполне упорядочивания любого множества,
которая эквивалентна разложению его на элементы, что эквивалентно заданию на нем
дискретной топологии. Однако более глубокий анализ выявляет фиктивность данного положения.

Континуальные мат.сущности не разлагаются на элементы,
т.е. у них нет актуальных элементов, но отдельные точки выделимы.

более того, элементарный пример показывает принципиальное расхождение
между мат. и физ. истинами: отрезок длиной 2 физически делится на два
отрезка по 1, но математичеcки получается отрезок [0,1] и полуинтервал (1,2].
а отрезки [0,1] и [1,2] пересекаются в точке-границе 1.

Западное мышление вообще, и мат-ка в частности, фундировано 2-логикой,
основа которой быть или не-быть, т.е. это логика конечного или дискретного.

Да, вообще, логика и дискретная математика часто мешаются в кучу в данной научной парадигме...

ага, интересно...

разумно, крайне разумно
насколько это есть формализмцiя analysus situs?

наиболее полная и естественная.
ибо реальность модальна и, стало быть, пространственно-топологична.
а время - лишь выражение субъектной ее основы.

как целое все это проявляется в интуционизме,
в котором рассуждательство выполняет низовую
служебную фукнкцию, и без которого невозможны
метафизика и вообще мышление.

Любое структурированное пространство (топологическое, оснащенное мерой, метрикой и т.п.) представляет неразрывное единство его носителя - множества элементов и некоторой процедуры, определяющей структурирование (т.е. определяющих определенную систему подмножеств данного пространства). В случае т.п. - это множество-носитель и процедура замыкания, а значит, и система подмножеств, для которых это замыкание определено. Подробнее о последнем. Замыкание как отображение множества на множество подразумевает наличие своей области определения, состоящей, во-первых, из совокупности всех открытых множеств, т.е. множеств, которые процедура замыкания изменяет, и замкнутых, инвариантных относительно этой процедуры.

Некоторые замечания.

1. В определении топологического пространства следует первым делом изложить аксиомы, определяющие замыкание (их пять), ибо без этого нельзя вообще говорить о т.п. У Вас же аксиомы, определяющие замыкание, сообщаются в середине изложения.
2. Не определен и термин "область топологического пространства". Мне известно такое определение: область т.п. - это открытое связное подмножество топологического пространства. Но требование связности множества А (это означает, что любое разбиение множества А на 2 непустых подмножества приводит к тому, что одно из множеств будет открытым) сильно ослабляет общность рассуждений.
3. Не определен и термин "ядро топологического пространства". Это совершенное, т.е. не содержащее изолированнвх точек подмножество, которое можно выделить в любом носителе т.п., такое, что дополнением к нему служит разреженное множество.
4. Свойство c(A*B) <= c(A)*c(B) вообще не является аксиомой, это следствие из первой из аксиом, определяющих процедуру замыкания - c(A+B) = c(A)+c(B) и из того, что в теории множеств включение множества А в множество В означает равенство А и суммы А+В, а также равенство В и произведения А*В.
5. Мне кажется, я могу реконструировать генезу Вашей заметки, вернее сущность оргситуации, которая ее навеяла. Думается, в основе проблема "принадлежности границы", известная людям с тех далеких времен, когда термина "топология" не было и в помине.
Например, такой оргситуацией может быть проведение границы-диаметра в окружности или выбор внутренней межевой точки в интрвале или на отрезке. А вот более яркий вариант. Берется поле и рассекается межой, бороздой, к примеру. И вдруг в борозде обнаруживается клад. Чей он? Существуют разные способы решения этой проблемы: дуальный - разделить клад пополам, тринитарный - пожертвовать клад "третьему" - жрецу, божеству межи и т.п., "нигилистический" - забыть о кладе и т.д. В наше время к этим способам добавляется еще один: написать научно-популярную "топологическую" заметку о происшествии. Это вариант Вы и избрали. Мой совет: попробуйте сделать это еще раз. Без привлечения неточно используемых и излишних терминов.


тут намеренное избегание терминов "множество" и "подмножество"
и "область" заменяет "подмножество".

аксиом для замыкания четыре,
но тут дается не определение топ.пр-ва,
а раскрывается дуальность ядра и замыкания
на шести свойствах, четыре из которых
аксиомы.

можно задать оператор замыкания, а можно оператор ядра.
в силу дуальности это одно и тоже.

термин "ядро" - синоним "внутренности множества",
использовавшийся в прошлом веке и мне ближе
по эстетическим соображениям.

целью было показать онтологическую и логическую
недостаточность логики Аристотеля и следствия
из этого.

благодарю за совет.
в переписывании нет никакой необходимости.

1. Если бы логики Аристотеля было бы достаточно, то современной постантичной науки вообще бы не существовало. Логика Аристотеля используется в логике современной математики, а сейчас уже и философии, примерно так же как и закон Архимеда в современной физике. Но было странно доказывать очевидную несостоятельность закона Архимеда в описании процессов в сплошных средах с помощью методов, скажем, современной термодинамики. Достаточно было указать какое-то явление, например, смачивание, которое этот закон не объясняет.
2. Аксиом все же 5. Пятая определяет топологическое пространство в сильном смысле, т.е. с допустимостью рассмотрения одного элемента множества-носителя как множества топологического пространства.
3. Термины, да еще в статье на такую "скрижальную" тематику, не стоит употреблять "по эстетическим" соображениям.

Указанная Вами статья апеллирует к тому кругу достаточно узкому кругу исследователей, которые изучают не несовершенства аристотелевой логики, а вопросы, связанные с замкнутостью современных аксиоматических и иных логических постороений. И совершенно нет надобности (да это и весьма и весьма затруднительно) реально проникнуть в суть излагаемого тому, кто не принадежит к упомянутому кругу. Это похоже на проблему Большого Взрыва, которой занимаются является очень-очень немногие физики, даже из тех, которые сейчас ставят эксперимент с коллайдером (большинство - специалисты в отраслях, далеких от проблем рождения пространства-времени-материи). Что касается злосчастного количества аксиом, то обратитесь хотя бы к Куратовскому, которого цитирует А.С. Карпенко. Просто пятая аксиома вводится только тогда, когда работают с топологическими пространствами в сильном смысле. А именно с такими математики работают чаще всего.

я сам математик.

слабое замыкание опр. тремя аксиомами
1. x <= c(x)
2. x <= y < = > c(x) <= c(y)
3. c(c(x)) = c(x)

четвертая для топологии
4. с(x+y) = c(x) + c(y)

читайте Клини, польских логиков...

все они занимались логикой совр.науки и философии.
и были позитивистами.

Можно ли ознакомиться с Вашими работами по математике? Не потому что проверяю. Просто любопытно сопоставить, сравнить Ваши мат. тексты с философскими.
У меня мат. работ немного. Я математикой занимался в молодости и недолго. Одна по дробному дифференцированию броуновского движения http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0508.60018&format=complete, другая связана с прогнозом стационарных процессов http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0492.60036&format=complete. Эти работы понемногу цитируются, что радует:http://www.jstor.org/pss/3532830. Но самую главную мою работу по исследованию экстремумов случайных процессов сейчас продолжает мой ученик в Геттингене, юниор-профессор Захар Каблучко. Вот у него работ прорва, поскольку он ничем кроме математики не занимался.

Благодарю. Было весьма любопытно с Вами пообщаться.

Не кажется ли вам парадоксальным поиск оснований 3-значной логики в дисциплине (топологии), построенной с использованием логики 2-значной?

нет, не кажется.

основание логики - членение множества с неявным или явным отношением близости на непересекающиеся области.

здесь просто изложены основания модальной логики

А на мой взгляд вся концепция открытости-закрытости родилась на свет именно как плод борьбы ума с 2-логическими противоречиями, возникающими после некоторых допущений (об актуальной бесконечности натурального ряда, об актуальности бесконечно малой точки и т.п.). Если под сомнением 2-логика, то так же под сомнением и соответствующая версия топологии.

Edited at 2014-06-11 08:48 pm (UTC)

да.

Первая такая система - система Лукасевича L3.

А.Зиновьев в книжке "Проблемы многозначной логики" показал связи таких k-логик с 2-логикой и членением множества на k частей. При этом 2-логика становится подсистемой в k-логике, а не логикой предметной области.

Идея о том, что и логические операции, и операции с членениями (множеств?) - суть одно и то же, представляется мне очень правильной. Я и текст ваш нашёл именно по ключевым словам "логика" и "топология", правда искал давно потерянную книжку Кэрола. Удивило именно обоснование многозначности логики проблемой сугубо формальной "маргинальности" границ. По-моему, возможны и более содержательные мотивировки.

Edited at 2014-06-11 09:14 pm (UTC)

Если я правильно увидел в рассуждении по ссылке пример иного, более содержательного основания многозначности, нежели формальная маргинальность границ членений - то поддерживаю. Актуально-потенциальная и интенсивная заданность рода, а потому его неперичислимость - это хорошо. И Филопон, как Аякс-Камнедробитель от логики, тоже хорош. Особенно, конечно же, понравилась потенциальность рода (хоть и актуальная)))...

маринальность границ - следствие забвения бытия :)

http://az118.livejournal.com/291986.html

От бытия - зря отказался. Надо же хоть что-то просто членить, не всё же выделять! Но всё ж таки - неведение точных границ и маргинальность границ - вещи разные. Первое - закономерно и естественно, второе - случайно и искусственно. Это же где-то у вас на страницах было: почему отрезок не разделить строго пополам? И впрямь: раз существет бесконечно малая точка, делить можно только по ней, никак не рядом. А раз "по ней", то куда её потом девать? ;)

Edited at 2014-06-11 10:17 pm (UTC)

Напомните, пожалуйста, где у Вас прозвучало, что логика - это перемещение мысли от одной области к другой, а интуиция - созерцание многих областей одновременно, подчас - с высоты птичьего полёта. Вчера понравилось, а сегодня не могу найти...

в самом конце этого поста - в замечании

  • 1
?

Log in

No account? Create an account