az118 в Эволюция со случайными переходамиДана система, которая находится в одном из N состояний.
В каждый момент времени она случайно переходит в новое состояние или остается в старом не зависимо от состояния, в котором система находилась.
Выберем одно из состояний. Пусть вероятность перехода в него из любого состояния будет p. Эта вероятность постоянна во времени и не зависит от прошлого.
Средний период сохранения Tc(p) – среднее число тактов сохранения данного состояния.до его потери.
Средний период возврата Tr(p) – среднее число тактов, через которое система вернется в данное состояние после его потери.
Пусть в некоторый момент времени t0=0 система находилась в некотором состоянии с вероятностью перехода p и q = 1-p
Средний период сохранения Tc(p)
В момент t = 1 вероятность сохранения состояния будет p1 = p, а вероятность потери – q1 = q.
В момент t = 2 вероятность сохранения будет p2 = p1p = p2, вероятность потери – q2 = p q.
Для произвольного момента t > t0 вероятность сохранения будет pt = pt, вероятность потери qt = pt-1q.
Легко показать, что q1 + q2 +...+ qt +... = 1.
Средний период сохранения равен
Tc(p) = 1 q1 + 2 q2 +...+ t qt +... = q (1 + 2 p +...+ t pt-1 +...) = q / (1-p)2 = 1 / (1-p) ,
а его средняя вариация равна
Vc(p) = √ [ (1 q1 + 4 q2 +...+ t2 qt +...) - Tc2(p) ] = √(p) / (1-p) = √(p) Tc(p)
Средний период возврата Tr(p)
В момент t = 1 вероятность потери будет q1 = q = 1-p, а вероятность возврата – p1 = p.
В момент t = 2 вероятность потери будет q2 = q1q = q2, а вероятность возврата – p2 = q1p.
Для произвольного момента t > t0 вероятность потери будет qt = qt, а вероятность возврата – pt = qt-1p.
Нетрудно видеть, p1 + p2 +...+ pt +... = 1.
Средний период возврата равен
Tr(p) = 1 p1 + 2 p2 +...+ t pt +... = p (1 + 2 q +...+ t qt-1 +...) = p / (1-q)2 = 1 / p ,
а его средняя вариация равна
Vr(p) = √ [ (1 p1 + 4 p2 +...+ t2 pt +...) - Tr2(p) ] = √(1-p) / p = √(1-p) Tr(p)
Связь между p, Tc(p) и Tr(p)
(1-p) Tc(p) = p Tr(p) = 1 / Tc(p) + 1 / Tr(p) = 1
Таким образом, вероятности p и q=1-p играют роль частот.
Если все состояния равновероятны, то p = 1 / N и
Tc(N) = N / (N-1); Tr(N) = N
Vc(N) = √(N) / (N-1); Vr(N) = √ [ N (N-1)]
Для очень больших N имеем
Tc = 1; Tr = N
Vc = 0; Vr = N
В каждый момент времени она случайно переходит в новое состояние или остается в старом не зависимо от состояния, в котором система находилась.
Выберем одно из состояний. Пусть вероятность перехода в него из любого состояния будет p. Эта вероятность постоянна во времени и не зависит от прошлого.
Средний период сохранения Tc(p) – среднее число тактов сохранения данного состояния.до его потери.
Средний период возврата Tr(p) – среднее число тактов, через которое система вернется в данное состояние после его потери.
Пусть в некоторый момент времени t0=0 система находилась в некотором состоянии с вероятностью перехода p и q = 1-p
Средний период сохранения Tc(p)
В момент t = 1 вероятность сохранения состояния будет p1 = p, а вероятность потери – q1 = q.
В момент t = 2 вероятность сохранения будет p2 = p1p = p2, вероятность потери – q2 = p q.
Для произвольного момента t > t0 вероятность сохранения будет pt = pt, вероятность потери qt = pt-1q.
Легко показать, что q1 + q2 +...+ qt +... = 1.
Средний период сохранения равен
Tc(p) = 1 q1 + 2 q2 +...+ t qt +... = q (1 + 2 p +...+ t pt-1 +...) = q / (1-p)2 = 1 / (1-p) ,
а его средняя вариация равна
Vc(p) = √ [ (1 q1 + 4 q2 +...+ t2 qt +...) - Tc2(p) ] = √(p) / (1-p) = √(p) Tc(p)
Средний период возврата Tr(p)
В момент t = 1 вероятность потери будет q1 = q = 1-p, а вероятность возврата – p1 = p.
В момент t = 2 вероятность потери будет q2 = q1q = q2, а вероятность возврата – p2 = q1p.
Для произвольного момента t > t0 вероятность потери будет qt = qt, а вероятность возврата – pt = qt-1p.
Нетрудно видеть, p1 + p2 +...+ pt +... = 1.
Средний период возврата равен
Tr(p) = 1 p1 + 2 p2 +...+ t pt +... = p (1 + 2 q +...+ t qt-1 +...) = p / (1-q)2 = 1 / p ,
а его средняя вариация равна
Vr(p) = √ [ (1 p1 + 4 p2 +...+ t2 pt +...) - Tr2(p) ] = √(1-p) / p = √(1-p) Tr(p)
Связь между p, Tc(p) и Tr(p)
(1-p) Tc(p) = p Tr(p) = 1 / Tc(p) + 1 / Tr(p) = 1
Таким образом, вероятности p и q=1-p играют роль частот.
Если все состояния равновероятны, то p = 1 / N и
Tc(N) = N / (N-1); Tr(N) = N
Vc(N) = √(N) / (N-1); Vr(N) = √ [ N (N-1)]
Для очень больших N имеем
Tc = 1; Tr = N
Vc = 0; Vr = N
Дополнение
Очевидно, что данное состояние с вероятностью p дуально всем прочим состояниям как одному мультисостоянию с вероятностью q=1-p:
cредний период сохранения p-состояния равен среднему периоду возврата q-состояния: Tc(p) = Tr(1-p);
и
cредний период возврата p-состояния равен среднему периоду сохранения q-состояния: Tr(p) = Tc(1-p)