az118 (az118) wrote,
az118
az118

Срединная линия

Оригинал взят у az118 в Срединная линия
На плоскости даны две линии, описываемые уравнениями y = f1(x) и y = f2(x) .

Срединная линия линий f1(x) и f2(x) - линия y = f(x),  состоящая из точек, равноудаленных от f1(x) и f2(x).

Обозначив

              p1 = df1/dx , q1 = √ (1+p12) ,
              p2 = df2/dx , q2 = √ (1+p22) ,

получаем

              y = y1 + (1/ p1) (x1-x) - нормаль к линии y = f1(x) в точке (x1,y1)
              y = y2 + (1/ p2) (x2-x) - нормаль к линии y = f2(x) в точке (x2,y2)
              (x-x1)2 + (y-y1)2 = (x-x2)2 + (y-y2)2 - равноудаленность точки (x,y) от точек (x1,y1) и (x2,y2)

откуда

              x = x1 + p1(y1-y),
              x = x2 + p2(y2-y),
              y = f(x) = (q1y1+ q2y2) / (q1+ q2)


примеры:

1. прямая и прямая

              f1(x) = a1 + b1x - прямая 1
              f2(x) = a2 + b2x - прямая 2

              y = f(x) = a + b x - срединная линия - прямая.

              a = (a1q2 + a2q1) / (q1 + q2)
              b = (b1q2 + b2q1) / (q1 + q2)
              q1 = √ (1+b12) ,  q2 = √ (1+b22) .

              при b1 = b2 = b получаем y = (a1+a2) / 2 + b x

2. окружность и горизонтальная прямая

              f1(x) = R ± √ (R2-x2) - окружность
              f2(x) = c - горизонтальная прямая

              y = f(x) = c / 2 + x2 / (4R - 2c) - срединная линия - парабола.

              при c = R получаем y = R / 2 + x2/ (2R)

              при c = 0 имеем y = x2 / (4R)



3. окружность и окружность

              f1(x) = с1 ± √ (R12-x2) - окружность радиуса R1 с центром (0,c1)
              f2(x) = с2 ± √ (R22-x2) - окружность радиуса R2 с центром (0,c2)

              √ [(y-c1)2+ x2] - R1 = R2 - √ [(y-c2)2+ x2] - равноудаленность

              при с1 = с2 = c имеем y = f(x) = с ± √ (R2-x2) - окружность радиуса R = (R1+R2) / 2 с центром (0,c)
Tags: математика, срединная линия
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 1 comment