az118 в Фундаментальная Онтологическая Структура (ФОС)1. Определение
Определим ФОС как S = < ε,ν; *,+ >, где
* – композиция (бинарная неассоциативная некоммутативная операция);
+ – альтернация (бинарная ассоциативная коммутативная идемпотентная операция):
φ+(χ+ψ) = (φ+χ)+ψ,
φ+χ = χ+φ,
χ+χ = χ;
ε – композиционная единица:
χ*ε = ε*χ = χ,
χ+ε = ε;
ν – альтернационный нуль:
χ+ν = χ.
Далее вместо φ*χ будем писать φχ.
Заметим, из равенства φχ = φψ следует равенство χ=ψ, но из χφ = ψφ – нет.
В общем, в силу неассоциативности композиции выражение φχψ эквивалентно φ(χψ), но не (φχ)ψ.
Легко видеть, что (φ+χ)+(χ+ψ) = φ+χ+ψ.
Очевидно, что относительно альтернации, каковая соответствует союзу или, ν – "ничто", а относительно композиции – глагол "быть" или бытие как таковое.
Стало быть, двойственность ν является основанием дилектики
Композиционная единица ε – "все".
есть нечто – νχ.
все нечто = нечто – εχ = χ.
ничто или нечто = нечто – ν+χ = χ.
все или нечто = все – ε+χ = ε.
Выражения, порождаемые операциями альтернации и композиции из альтернационного нуля, будем называть онтологическими операторами.
Альтернацию будем часто называть суммой.
Таким образом, ФОС дана как алгебраическая структура с двумя 0-арными (константами ν и ε) и двумя бинарными (+ и *) операциями. причем, ν еще и первичный оператор, который из себя через + разворачивает весь математический универсум как многообразие модализаторов и множеств в их единстве.
т.е. ФОС - это формальная структура онтологии неоплатонизма.
математика - это метафизика.
Пусть χ, χ1 ,… – онтологические операторы.
Положим: χ0 = ε, χ1 = χ, χ1+n = χχn, ∑k=1...n χk = χ1 +…+ χn, ∑k χk = χ1 +….
Оператор вида ∑k νχk назовем множеством с элементами χk.
Ясно, что ν – множество, которое назовем пустым, а ε – не множество. Стало быть, оператор, содержащий слагаемое ε, равен ε, т.е. не множество. Также очевидно, что ε не является элементом никакого множества в силу ∑k νχk + νε = ∑k νχk .
Альтернационный нуль ν будем называть оператором актуализации (необходимости). Следовательно, множество - альтернация актуализаций. Оператор актуализации имеет смысл фундаментального онтологического действия и является глаголом быть или местоимением первого лица «Я». Выражение νχ эквивалентно утверждению «есть χ», а ν2 – утверждению «Я есть», что делает Я имплицитным сущим в первой экзистенции.
«Я» есть ничто-бытие, но «Я есть» - сущее.
3. n-произведения множеств
Пусть A = ∑iναi и B = ∑jνβj – множества.
Определим n-произведение *n множеств: A *1 B = A+B и, по индукции,
A *n+1 B = ∑i,j ν(αi *n βj). В частности, A · B = A *2 B = ∑i,j ν(αi + βj) и A * B = A *3 B = ∑i,j ν(αi · βj).
Как легко видеть, n-произведение множеств ассоциативно и коммутативно.
Положим 1n = νn, 0n = 1n-1 и 1 = 12, 0 = 02 = ν.
Ясно, что 1n1k = 1n+k.
Тогда
11 *1 A = ν+A = A и для n>1
1n *n A = ν1n-1 *n ∑iναi = ∑i ν(1n-1*n-1 αi) = ∑iναi = A;
02 · A = ν · A = νε · ∑iναi = ∑iν(ε+αi) = ∑iνε = ν и для n>2
0n *n A = ν0n-1 *n ∑iναi = ∑i ν(0n-1 *n-1 αi) = 0n.
Очевидно, что 1n играет роль единицы, а 0n – нуля для n-произведения множеств:
1n *n A = A, 0n *n A = 0n.
Стало быть, 1n-1 является нулем (отсутствием, невозможностью) на данном
и единицей (присутствием, необходимостью) на предыдущем уровнях.
Причем, единица данного уровня – множество с одним элементом, –
нулем данного уровня: 1n = ν0n.
Если A(n) = ∑i 11α(n-1)i и B(n) = ∑j 11β(n-1)j – множества, то
A(n) *n B(n) = 0n, тогда, и только тогда, когда α(n-1)i *n-1 β(n-1)j = 0n-1.
Легко видеть, что α(1)i + β(1)j = 0 и, следовательно, α(1)i = β(1)j = 0.
n-произведение множеств A1, A2,… будем обозначать ∏(n)k Ak = A1 *n A2 *n ….
4. Оператор потенции
Определим оператор потенции π как πχ = 12 + 11χ , где χ элементарный
(т.е. не сумма), и π(φ+ψ) = πφ · πψ.
Понятно, что πχ – множество из элементов 11 = ν и χ, причем π11 = 12 + 12 = 12.
Множество πχ назовем потенциалом оператора χ. Но π – не множество!
Легко видеть, π(φ+ψ) = πφ · πψ = (12+11φ)·(12+11ψ) = ν(ν+ν)+ν(ν+φ)+ν(ν+ψ)+ν(φ+ψ) =
= 12 + 11φ + 11ψ + ν(φ+ψ) = πφ + πψ + ν(φ+ψ) = πφ + πφ · νψ = πψ + πψ · νφ.
Потенциал суммы больше суммы потенциалов.
В общем, π∑k χk = ∏(2)k πχk.
Множество π2χ назовем вторым потенциалом оператора χ и т.д.
В частности, π211 = π(π11) = π12 = 12 + 1112 = 12 + 13.
Пусть A = ∑iναi – множество. Тогда πA = ∏(2)i πναi – потенциал множества A.
Потенциал множества есть его булеан.
Если первый потенциал Я (т.е. 11) π11 = 12 суть первая экзистенция,
то второй его потенциал π211 = 12 + 13 есть первая рефлексия (ответ на вопрос)
«Я есть Сущее», эксплицитно утверждающая Я в качестве Сущего (того, кто есть).
5. Модализаторы, модалы и модусы
Обобщая, определим n-модализаторы (операторы n-модализации):
μ0χ = ε, μ1χ = χ, μ2χ = 12 + 11μ1χ = πχ, μ3χ = 13 + 12μ1χ + 11μ2χ,…,
μnχ = 1n+ 1n-1 μ1χ +…+ 11μn-1χ = ∑k=0...n-1 1n-k μkχ.
Ясно, что μnχ при n>1 – множество из n элементов 1n-1, 1n-2μ1χ,…, μn-1χ и
μnν = 1n+ 1n-1 μ1ν +…+ 11μn-1ν = 1n+ 1n-1ν +…+ 11νn-1 = νn = 1n.
Множество μnχ назовем n-модалом оператора χ. Но μn – не множество!
Выражения вида λn,k = 1n-k μk будем называть k-модусами n-модализации:
λn,0 = 1n – n-невозможность (0-модус); λn,1 = 1n-1μ1 – n-необходимость (1-модус);
λn,2 = 1n-2μ2 – n-возможность (2-модус) и т.д.
Очевидно, что если χ =∑k χk, то μnχ = ∑k=0...n-1 λn,kχ = ∏(n)k μnχk и
μn(χ+φ) = μnχ *n μnφ = μnχ +∑k=0...n-1 μnχ *n λn,kφ.
6. Модальные множества
Пусть A0,…, An-1 – система попарно непересекающихся множеств и S(A) = ∑k=1...n-1 Ak.
Множество вида A = (A0,…, An-1) = ∏(n-1)k=1...n-1 λn-1,k Ak назовем n-множеством над S(A),
множество S(A) – субстратом, а множества A0,…., An-1 – компонентами n-множества A.
Нетрудно показать, что n-модал μnS множества S состоит из всех n-множеств над S,
каждое из которых соответствует способу разбиения S на n компонент A0,A1,…., An-1 с
модусами n-невозможности для A0, n-необходимости для A1, n-возможности для A2
и т.д.
По индукции: если A(n) = (A0,…, An-1) – n-множество,
то A(n+1) = (A0,…, An-1, An) = νA(n) *n μnAn – (n+1)-множество.
Пусть A = (A0,…, An) = ∏(n)k=1...n λn,k Ak – (n+1)-множество.
Так как λn,0 A0 = 1n μ0A0 = 1nε = 1n, то A = 1n *n ∏(n)k=1...n λn,k Ak =∏(n)k=1...n λn,k Ak .
Стало быть, компонента A0 никак не влияет на (n+1)-множество A и его субстрат S(A).
При n=2 получаем бимодальное множество A = (A0,A1) = A1, выделяющее из субстрата
S = A0+A1 подмножество A1 как необходимое с модусом λ1,1 = μ1, противолежащее
дополняющему его подмножеству A0 как невозможному с модусом λ1,0 = 11μ0.
Бимодал μ2S представляет собой множество всех подмножеств (булеан),
т.е. потенциал, субстрата S.
Тримодальное множество A = (A0,A1,A2) = νA1 · πA2 выделяет из субстрата S = A0+A1+A2
необходимую A1 с модусом λ2,1 = ν и возможную A2 с модусом λ2,2 = π части и представляет
собой семейство всех множеств вида A1+B, где B – подмножество потенциальной части A2.
Семейство всех таких семейств образует тримодал субстрата S.
Приложение 1:
ординалы и координалы
Определим R0 = 0 – стартовый 0-ординал и Rn+1 = Rn + 11Rn – (n+1)-ординал,
следующий за n-ординалом.
Легко видеть, что n-ординал содержит все предыдущие ординалы как свои
подординалы и включает их как свои элементы: Rn = ∑j=0...n-1 11Rj.
n-координал – это n-модал потенциала π11 = 12:
Q0 = μ012 = ε, Q1 = μ112 = 12, Qn = μn12 = ∑j=0...n-1 1n-jQj при n>1.
Тогда n-модал множества S – его степень с основанием Qn и показателем S:
μnS = QnS (обобщение степени множества, т.е. булеана).
Q0 = μ012 = ε,
Q1 = μ112 = 12,
Q2 = μ212 = 12 + 11Q1 = 12 + 13,
Q3 = μ312 = 13 + 12Q1 + 11Q2 = 13 + 14 + 11(12 + 13) ,
Q4 = μ412 = 14 + 13Q1 + 12Q2 + 11Q3 = 14 + 15 + 12(12 + 13) + 11(13 + 14 + 11(12 + 13))
...
Если n-ординал задает порядок следования, то n-координал - порядок соположения.
Приложение 2:
операции n-пересечения, n-разности и n-дополнения
Здесь n-произведение *n будем обозначать как сумму +n,
а единицу 1n как 0n: χ+n0n = χ.
Операторы α и β не n-пересекаются тогда, и только тогда,
когда из α = α0+nχ и β = β0+nχ следует χ = 0n.
Если α0 и β0 не n-пересекаются и α = α0+nχ, β = β0+nχ, то
χ = α×nβ – n-пересечение α и β.
α0 = α-nβ – n-разность α и β.
β0 = β-nα – n-разность β и α.
Очевидно, что α = (α-nβ) +n (α×nβ), β = (β-nα) +n (α×nβ) и α+nβ = (α-nβ) +n (α×nβ) +n (β-nα).
Оператор α есть n-подоператор оператора β, т.е. α ≤n β, тогда, и только тогда,
когда α+nβ = β. Стало быть, α×nβ = α и α-nβ = 0n.
Если χ = α+nβ, где α и β не n-пересекаются, то α ≤n χ, β ≤n χ,
-nαx = χ-nα = β n-дополнение α до χ,
-nβx = χ-nβ = α n-дополнение β до χ
-nαx+nα = -nβx+nβ = χ,
-n(-nαx) = χ-n(χ-nα) = χ-nβ = α
Для любого χ
χ+ε = ε, χ×ε = χ, χ≤ε,
χ+ν = χ, χ×ν = ν, ν≤χ.
очевидно, что
модалы - структуры порядка подчинения;
ординалы - структуры порядка следования, из которых конечные суть натуальные числа;
координалы - структуры порядка положения.
и
структуры порядка суть числа
Определим ФОС как S = < ε,ν; *,+ >, где
* – композиция (бинарная неассоциативная некоммутативная операция);
+ – альтернация (бинарная ассоциативная коммутативная идемпотентная операция):
φ+(χ+ψ) = (φ+χ)+ψ,
φ+χ = χ+φ,
χ+χ = χ;
ε – композиционная единица:
χ*ε = ε*χ = χ,
χ+ε = ε;
ν – альтернационный нуль:
χ+ν = χ.
Далее вместо φ*χ будем писать φχ.
Заметим, из равенства φχ = φψ следует равенство χ=ψ, но из χφ = ψφ – нет.
В общем, в силу неассоциативности композиции выражение φχψ эквивалентно φ(χψ), но не (φχ)ψ.
Легко видеть, что (φ+χ)+(χ+ψ) = φ+χ+ψ.
Очевидно, что относительно альтернации, каковая соответствует союзу или, ν – "ничто", а относительно композиции – глагол "быть" или бытие как таковое.
Стало быть, двойственность ν является основанием дилектики
Композиционная единица ε – "все".
есть нечто – νχ.
все нечто = нечто – εχ = χ.
ничто или нечто = нечто – ν+χ = χ.
все или нечто = все – ε+χ = ε.
Выражения, порождаемые операциями альтернации и композиции из альтернационного нуля, будем называть онтологическими операторами.
Альтернацию будем часто называть суммой.
Таким образом, ФОС дана как алгебраическая структура с двумя 0-арными (константами ν и ε) и двумя бинарными (+ и *) операциями. причем, ν еще и первичный оператор, который из себя через + разворачивает весь математический универсум как многообразие модализаторов и множеств в их единстве.
т.е. ФОС - это формальная структура онтологии неоплатонизма.
математика - это метафизика.
2. Множества и актуализация
Пусть χ, χ1 ,… – онтологические операторы.
Положим: χ0 = ε, χ1 = χ, χ1+n = χχn, ∑k=1...n χk = χ1 +…+ χn, ∑k χk = χ1 +….
Оператор вида ∑k νχk назовем множеством с элементами χk.
Ясно, что ν – множество, которое назовем пустым, а ε – не множество. Стало быть, оператор, содержащий слагаемое ε, равен ε, т.е. не множество. Также очевидно, что ε не является элементом никакого множества в силу ∑k νχk + νε = ∑k νχk .
Альтернационный нуль ν будем называть оператором актуализации (необходимости). Следовательно, множество - альтернация актуализаций. Оператор актуализации имеет смысл фундаментального онтологического действия и является глаголом быть или местоимением первого лица «Я». Выражение νχ эквивалентно утверждению «есть χ», а ν2 – утверждению «Я есть», что делает Я имплицитным сущим в первой экзистенции.
«Я» есть ничто-бытие, но «Я есть» - сущее.
3. n-произведения множеств
Пусть A = ∑iναi и B = ∑jνβj – множества.
Определим n-произведение *n множеств: A *1 B = A+B и, по индукции,
A *n+1 B = ∑i,j ν(αi *n βj). В частности, A · B = A *2 B = ∑i,j ν(αi + βj) и A * B = A *3 B = ∑i,j ν(αi · βj).
Как легко видеть, n-произведение множеств ассоциативно и коммутативно.
Положим 1n = νn, 0n = 1n-1 и 1 = 12, 0 = 02 = ν.
Ясно, что 1n1k = 1n+k.
Тогда
11 *1 A = ν+A = A и для n>1
1n *n A = ν1n-1 *n ∑iναi = ∑i ν(1n-1*n-1 αi) = ∑iναi = A;
02 · A = ν · A = νε · ∑iναi = ∑iν(ε+αi) = ∑iνε = ν и для n>2
0n *n A = ν0n-1 *n ∑iναi = ∑i ν(0n-1 *n-1 αi) = 0n.
Очевидно, что 1n играет роль единицы, а 0n – нуля для n-произведения множеств:
1n *n A = A, 0n *n A = 0n.
Стало быть, 1n-1 является нулем (отсутствием, невозможностью) на данном
и единицей (присутствием, необходимостью) на предыдущем уровнях.
Причем, единица данного уровня – множество с одним элементом, –
нулем данного уровня: 1n = ν0n.
Если A(n) = ∑i 11α(n-1)i и B(n) = ∑j 11β(n-1)j – множества, то
A(n) *n B(n) = 0n, тогда, и только тогда, когда α(n-1)i *n-1 β(n-1)j = 0n-1.
Легко видеть, что α(1)i + β(1)j = 0 и, следовательно, α(1)i = β(1)j = 0.
n-произведение множеств A1, A2,… будем обозначать ∏(n)k Ak = A1 *n A2 *n ….
4. Оператор потенции
Определим оператор потенции π как πχ = 12 + 11χ , где χ элементарный
(т.е. не сумма), и π(φ+ψ) = πφ · πψ.
Понятно, что πχ – множество из элементов 11 = ν и χ, причем π11 = 12 + 12 = 12.
Множество πχ назовем потенциалом оператора χ. Но π – не множество!
Легко видеть, π(φ+ψ) = πφ · πψ = (12+11φ)·(12+11ψ) = ν(ν+ν)+ν(ν+φ)+ν(ν+ψ)+ν(φ+ψ) =
= 12 + 11φ + 11ψ + ν(φ+ψ) = πφ + πψ + ν(φ+ψ) = πφ + πφ · νψ = πψ + πψ · νφ.
Потенциал суммы больше суммы потенциалов.
В общем, π∑k χk = ∏(2)k πχk.
Множество π2χ назовем вторым потенциалом оператора χ и т.д.
В частности, π211 = π(π11) = π12 = 12 + 1112 = 12 + 13.
Пусть A = ∑iναi – множество. Тогда πA = ∏(2)i πναi – потенциал множества A.
Потенциал множества есть его булеан.
Если первый потенциал Я (т.е. 11) π11 = 12 суть первая экзистенция,
то второй его потенциал π211 = 12 + 13 есть первая рефлексия (ответ на вопрос)
«Я есть Сущее», эксплицитно утверждающая Я в качестве Сущего (того, кто есть).
5. Модализаторы, модалы и модусы
Обобщая, определим n-модализаторы (операторы n-модализации):
μ0χ = ε, μ1χ = χ, μ2χ = 12 + 11μ1χ = πχ, μ3χ = 13 + 12μ1χ + 11μ2χ,…,
μnχ = 1n+ 1n-1 μ1χ +…+ 11μn-1χ = ∑k=0...n-1 1n-k μkχ.
Ясно, что μnχ при n>1 – множество из n элементов 1n-1, 1n-2μ1χ,…, μn-1χ и
μnν = 1n+ 1n-1 μ1ν +…+ 11μn-1ν = 1n+ 1n-1ν +…+ 11νn-1 = νn = 1n.
Множество μnχ назовем n-модалом оператора χ. Но μn – не множество!
Выражения вида λn,k = 1n-k μk будем называть k-модусами n-модализации:
λn,0 = 1n – n-невозможность (0-модус); λn,1 = 1n-1μ1 – n-необходимость (1-модус);
λn,2 = 1n-2μ2 – n-возможность (2-модус) и т.д.
Очевидно, что если χ =∑k χk, то μnχ = ∑k=0...n-1 λn,kχ = ∏(n)k μnχk и
μn(χ+φ) = μnχ *n μnφ = μnχ +∑k=0...n-1 μnχ *n λn,kφ.
6. Модальные множества
Пусть A0,…, An-1 – система попарно непересекающихся множеств и S(A) = ∑k=1...n-1 Ak.
Множество вида A = (A0,…, An-1) = ∏(n-1)k=1...n-1 λn-1,k Ak назовем n-множеством над S(A),
множество S(A) – субстратом, а множества A0,…., An-1 – компонентами n-множества A.
Нетрудно показать, что n-модал μnS множества S состоит из всех n-множеств над S,
каждое из которых соответствует способу разбиения S на n компонент A0,A1,…., An-1 с
модусами n-невозможности для A0, n-необходимости для A1, n-возможности для A2
и т.д.
По индукции: если A(n) = (A0,…, An-1) – n-множество,
то A(n+1) = (A0,…, An-1, An) = νA(n) *n μnAn – (n+1)-множество.
Пусть A = (A0,…, An) = ∏(n)k=1...n λn,k Ak – (n+1)-множество.
Так как λn,0 A0 = 1n μ0A0 = 1nε = 1n, то A = 1n *n ∏(n)k=1...n λn,k Ak =∏(n)k=1...n λn,k Ak .
Стало быть, компонента A0 никак не влияет на (n+1)-множество A и его субстрат S(A).
При n=2 получаем бимодальное множество A = (A0,A1) = A1, выделяющее из субстрата
S = A0+A1 подмножество A1 как необходимое с модусом λ1,1 = μ1, противолежащее
дополняющему его подмножеству A0 как невозможному с модусом λ1,0 = 11μ0.
Бимодал μ2S представляет собой множество всех подмножеств (булеан),
т.е. потенциал, субстрата S.
Тримодальное множество A = (A0,A1,A2) = νA1 · πA2 выделяет из субстрата S = A0+A1+A2
необходимую A1 с модусом λ2,1 = ν и возможную A2 с модусом λ2,2 = π части и представляет
собой семейство всех множеств вида A1+B, где B – подмножество потенциальной части A2.
Семейство всех таких семейств образует тримодал субстрата S.
Приложение 1:
ординалы и координалы
Определим R0 = 0 – стартовый 0-ординал и Rn+1 = Rn + 11Rn – (n+1)-ординал,
следующий за n-ординалом.
Легко видеть, что n-ординал содержит все предыдущие ординалы как свои
подординалы и включает их как свои элементы: Rn = ∑j=0...n-1 11Rj.
0
0 0 0 0 0─┤
0 0 0 0─┤ 0 0 0─┤ 0 0─┤ 0─┴───┤
0 0 0─┤ 0 0─┤ 0─┴───┤ 0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤
0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤ 0─┴───┴───────┴───────────────┤
0─┴───┴───────┴───────────────┴───────────────────────────────┴─►
0 1 2 3 4 5
начало ряда ординалов с 0 по 5-й.
n-координал – это n-модал потенциала π11 = 12:
Q0 = μ012 = ε, Q1 = μ112 = 12, Qn = μn12 = ∑j=0...n-1 1n-jQj при n>1.
Тогда n-модал множества S – его степень с основанием Qn и показателем S:
μnS = QnS (обобщение степени множества, т.е. булеана).
Q0 = μ012 = ε,
Q1 = μ112 = 12,
Q2 = μ212 = 12 + 11Q1 = 12 + 13,
Q3 = μ312 = 13 + 12Q1 + 11Q2 = 13 + 14 + 11(12 + 13) ,
Q4 = μ412 = 14 + 13Q1 + 12Q2 + 11Q3 = 14 + 15 + 12(12 + 13) + 11(13 + 14 + 11(12 + 13))
...
Если n-ординал задает порядок следования, то n-координал - порядок соположения.
Приложение 2:
операции n-пересечения, n-разности и n-дополнения
Здесь n-произведение *n будем обозначать как сумму +n,
а единицу 1n как 0n: χ+n0n = χ.
Операторы α и β не n-пересекаются тогда, и только тогда,
когда из α = α0+nχ и β = β0+nχ следует χ = 0n.
Если α0 и β0 не n-пересекаются и α = α0+nχ, β = β0+nχ, то
χ = α×nβ – n-пересечение α и β.
α0 = α-nβ – n-разность α и β.
β0 = β-nα – n-разность β и α.
Очевидно, что α = (α-nβ) +n (α×nβ), β = (β-nα) +n (α×nβ) и α+nβ = (α-nβ) +n (α×nβ) +n (β-nα).
Оператор α есть n-подоператор оператора β, т.е. α ≤n β, тогда, и только тогда,
когда α+nβ = β. Стало быть, α×nβ = α и α-nβ = 0n.
Если χ = α+nβ, где α и β не n-пересекаются, то α ≤n χ, β ≤n χ,
-nαx = χ-nα = β n-дополнение α до χ,
-nβx = χ-nβ = α n-дополнение β до χ
-nαx+nα = -nβx+nβ = χ,
-n(-nαx) = χ-n(χ-nα) = χ-nβ = α
Для любого χ
χ+ε = ε, χ×ε = χ, χ≤ε,
χ+ν = χ, χ×ν = ν, ν≤χ.
очевидно, что
модалы - структуры порядка подчинения;
ординалы - структуры порядка следования, из которых конечные суть натуальные числа;
координалы - структуры порядка положения.
и
структуры порядка суть числа
и матматика дает множество состояний бытия Ex Nihilo - Ex Deo Totum