обобщенные mv-алгебры

Пусть A = < V, 0, + > - коммутативный моноид с законом поглощения:

x+y = y+x, (x+y)+z = x+(y+z), x+x = x+0 = x

такой, что существует обратимый оператор φ: V → V, индуцирующий
обобщенную mv-алгебру A(φ) = < V, 0, +, φ >:

x+φ0 = φ0, φ^-1(φx+y)+y = φ^-1(φy+x)+x.

Тогда, определив φ-дуальную к + операцию x •_(φ) y = φ^-1(φx+φy)
и константу 1 = φ^-10 с аксиомами

0 = φ1,   x •_(φ) φ^-1y + y = y •_(φ) φ^-1x + x,

получаем

x •_(φ) 0 = φ^-1(φx+φ0) = φ^-1φ0 = 0,
x •_(φ) 1 = φ^-1(φx+φφ^-10) = φ^-1(φx+0) = φ^-1φx = x,
x •_(φ) х = φ^-1(φx+φх) = φ^-1φx = x,

x •_(φ) y •_(φ) z = φ^-1(φx+φ(y •_(φ) z) ) =
= φ^-1(φx+φφ^-1(φy+φz) ) = φ^-1(φx+φy+φz) =
= x •_(φ) (y •_(φ) z) = (x •_(φ) y) •_(φ) z.

Поскольку одно из φ^kх имеет значение φ0,
в силу аксиомы x+φ0 = φ0 справедливы

закон исключения лишнего
x + φх +...+ φ^-1х = φ0

и закон несовместимости степеней
x •_(φ) φх •_(φ) ... •_(φ) φ^-1х = 0.

Действительно,
x •_(φ) φх •_(φ)...•_(φ) φ^-1х = φ^-1(x + φх +...+ φ^-1х) = φ^-1φ0 = 0,

Константы 0 и φ0 естественно интерпретировать
как невозможность и необходимость


В целом, оператор φ порождает на исходном моноиде A
семейство операций x •_(φ,k) y = x •_k y = φ^-k(φ^kx+φ^ky) ( (φ,k)-конъюнкций )
с константами 0_k = φ^1-k0  и  1_k = φ^1-k1 = φ^-k0 = φ^-10_k,

для которых справедливы тождества

x •_k 0_k = φ^-k(φ^kx+φ^kφ^1-k0) = φ^-k(φ^kx+φ0) = φ^-kφ0 = φ^1-k0 = 0_k,
x •_k 1_k = φ^-k(φ^kx+φ^kφ^-k0) = φ^-k(φ^kx+0) = φ^-kφ^kx = x,
x •_k х = φ^-k(φ^kx+φ^kх) = φ^-kφ^kx = x,

x •_k y •_k z = x •_k (y •_k z) = (x •_k y) •_k z

а также

законы де Моргана
φ^k(x •_k y) = φ^kx+φ^ky,
φ^-kx •_k φ^-ky = φ^-k(x+y),

закон исключения лишнего
φ^kx + φ^k+1х +...+ φ^k-1х = φ0

и закон инварианта цикла
x •_k φх •_k ... •_k φ^-1х = 0_k.

Исходная операция "+" соответствует •₀
и связана с константой необходимости c = φ0:
    "φ^-1x" эквивалентно "необходимо x";
операция •₁ -- с константой невозможности  0:
    "φx" эквивалентно "невозможно x";
операция •₂ --  с константой возможности 1 = φ^-10:
    "x" эквивалентно "возможно x".

В общем, операция •_k связана с константой  φ^1-k0:

Очевидно, что φ0 и 1 = φ^-10 совпадают лишь при φ = φ^-1,
т.е. при |φ|=2. Тогда необходимо x+1 = x+φx = 1. Если |V|>2,
в V могут быть φ-неподвижные отличные от 1 элементы x = φx,
для которых x+φx = x, что невозможно в силу x+φx = 1. При
нечетном |V| хотя бы один такой элемент необходимо есть.
Стало быть, mv-алгебр с нечетным |V| и |φ|=2 не существует.

В общем, в mv-алгебре |V| кратно |φ|.

вот.

__________________________________________________

Примеры

Положим V = {0,c,1}

1. Система Лукасевича L3
0 - ложность, c - неопр., 1 - истинность 
┌───┬───────┬───┬───┬───────┐ 
│ + │ 0 c 1 │ ~ │ • │ 0 c 1 │ 
├───┼───────┼───┼───┼───────┤ 
│ 0 │ 0 c 1 │ 1 │ 0 │ 0 0 0 │ 
│ с │ c c 1 │ с │ c │ 0 c c │ 
│ 1 │ 1 1 1 │ 0 │ 1 │ 0 c 1 │ 
└───┴───────┴───┴───┴───────┘ 
x•y = ~(~x+~y), 
~0=1, ~c=c, ~1=0, ~~x = x,
0+~0 = 1+~1 = 1, c+~c = c.

2. Система P3 
0 - невозможность, c - необходимость, 1 - возможность
┌───┬───────┬───┬───┬───────┬───┬───────┐ 
│ + │ 0 c 1 │ ~ │ • │ 0 c 1 │ * │ 0 c 1 │ 
├───┼───────┼───┼───┼───────┼───┼───────┤ 
│ 0 │ 0 c 1 │ с │ 0 │ 0 0 0 │ 0 │ 0 0 1 │ 
│ с │ c c c │ 1 │ c │ 0 c c │ c │ 0 c 1 │ 
│ 1 │ 1 c 1 │ 0 │ 1 │ 0 c 1 │ 1 │ 1 1 1 │ 
└───┴───────┴───┴───┴───────┴───┴───────┘ 
x•y = ~~(~x+~y) = ~(~~x*~~y), 
x*y = ~(~~x+~~y) = ~~(~x•~y),
~0 = ~~1 = c, ~c = ~~0 = 1, ~1 = ~~c = 0, ~~~x = x,
0+~0+~~0 = c+~c+~~c = 1+~1+~~1 = c,
0*~0*~~0 = c*~c*~~c = 1*~1*~~1 = 1.

Система L3 не является mv-алгеброй
поскольку не всегда x+~x = ~0.

В P3 не действуют законы
противоречия и исключенного третьего,
но  x+~x+~~x = ~0  и  x•~x•~~x = 0,
т.е.

необходимо чтобы было
невозможно или необходимо или возможно,
а четвертого нет,
и
невозможно чтобы было
невозможно и необходимо и возможно.

"~~x" эквивалентно "необходимо x",
"~x" эквивалентно "невозможно x",
"x" эквивалентно "возможно x",

 ~(~~x) = x   и   ~~(~x) = x,  т.е.

невозможность необходимости есть возможность

и

необходимость невозможности есть возможность.


p.s.
Любая операция в многозначной системе представляется композицией
степеней отрицания-транспозиции и полноциклического отрицания.