d(v,u) = √ [Δr2+(rΔφ)2], где
Δr = rv-ru, r = min (rv, ru) ,
Δφ = φv-φu - угол между векторами v и u,
r|Δφ| - длина дуги радиуса r угла Δφ.
Очевидно, что d(v,v) = 0, d(v,u) = d(u,v) ≤ d(v,w) + d(w,u) (аксиомы метрики),
а также d(0,v) = rv, d(v,u) = rv|Δφ| при rv = ru (расстояние между точками на одной центр.окружности равно длине их соединяющей дуги),
кроме того, для v = (r,φ), Δv = (Δr,Δφ), Δr > 0 и действительного числа 0 ≤ λ ≤ 1
d(v,v+λΔv) + d(v+λΔv,v+Δv) = d(v,v+Δv) (аддитивность геодезического отрезка).
в самом деле, d(v,v+λΔv) + d(v+λΔv,v+Δv) =
= √ [(λΔr)2 + (λrΔφ)2] + √ [((1-λ)Δr)2 + ((1-λ)rΔφ)2] =
= λ √ [Δr2 + (rΔφ)2] + (1-λ) √ [Δr2 + (rΔφ)2] =
= (λ + 1-λ) d(v,v+Δv) = d(v,v+Δv)
геодезические линии:
- радиальные лучи с центром в точке полюса;
- концентрические окружности с центром в точке полюса;
- спирали с постоянным шагом с центром в точке полюса.
