az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

однополярная метрика на плоскости

для полярных координат на плоскости v = (rv, φv), где rv ≥ 0 - расстояние до центра, 0 ≤ φv ≤ π - угол отн. нулевого угла (при φ > π надо переопределить угол φ -> 2π - φ), определим метрику

d(v,u) = √ [Δr2+(rΔφ)2], где

Δr = rv-ru, r = min (rv, ru) ,
Δφ = φvu - угол между векторами v и u,
r|Δφ| - длина дуги радиуса r угла Δφ.

Очевидно, что d(v,v) = 0, d(v,u) = d(u,v) ≤ d(v,w) + d(w,u) (аксиомы метрики),
а также d(0,v) = rv, d(v,u) = rv|Δφ| при rv = ru (расстояние между точками на одной центр.окружности равно длине их соединяющей дуги),

кроме того, для v = (r,φ), Δv = (Δr,Δφ), Δr > 0 и действительного числа 0 ≤ λ ≤ 1

d(v,v+λΔv) + d(v+λΔv,v+Δv) = d(v,v+Δv) (аддитивность геодезического отрезка).

в самом деле, d(v,v+λΔv) + d(v+λΔv,v+Δv) =
= √ [(λΔr)2 + (λrΔφ)2] + √ [((1-λ)Δr)2 + ((1-λ)rΔφ)2] =
= λ √ [Δr2 + (rΔφ)2] + (1-λ) √ [Δr2 + (rΔφ)2] =
= (λ + 1-λ) d(v,v+Δv) = d(v,v+Δv)


геодезические линии:
- радиальные лучи с центром в точке полюса;
- концентрические окружности с центром в точке полюса;
- спирали с постоянным шагом с центром в точке полюса.
Tags: геометрия, математика, полярная метрика
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 5 comments