задача про три конфеты (с анализом)

ОТТУДА

Маша дает Пете три конфеты красного, зеленого и синего цвета и, говоря что две из них отравленные, просит выбрать одну и съесть.

Петя выбирает красную, после чего Маша заявляет что зеленая конфета отравленная и просит заменить красную на синюю или съесть все же красную.

вопрос:
каковы шансы Пети остаться в живых при замене и не замене красной конфеты при условии равновероятности годности каждой из конфет и правдивости Маши?

Парадокс Монти Холла

    КЗС
  ___|___
 |   |   |
+OO O+O OO+ выбор Петей красной конфеты
 |       |  p(1) = 1/3 - вероятность ее годности
 |       |  q(1) = 2/3 - вероятность ее негодности
+OO     OO+ Объявление Маши о негодности зеленой конфеты
            p(2) = 1/2 - вероятность годности красной конфеты
            q(2) = 1/2 - вероятность негодности красной конфеты

Независимо от выбора Пети, у Маши хотя бы одна конфета из двух оставшихся будет отравленной и ее объявление об этом сужает поле возможности с трех до двух, делая шансы жизни и смерти Пети равными и потому все рассуждения о неравенстве шансов в пользу замены чушь собачья-либеральная, ибо Маша своим объявлением дает Пете информацию, выравнивающую шансы, а рассуждения строятся так, как будто этого не происходит.

Казалось бы Петя и без объявления Маши знает что хотя бы одна из двух других конфет отравленная и потому объявление Маши не может выровнить шансы, но объявление Маши выделяет конкретную одну, отбрасывая ее и оставляя возможность замены только на вторую из двух.

до объявления
p = 1/3 - вероятность годности красной конфеты
q = 2/3 - вероятность негодности красной конфеты, но годности одной из двух других

после объявления
p = 1/3 - вероятность годности красной конфеты
q = 2/3 - вероятность негодности красной конфеты, но годности одной - синей

К  _ 1/3 __ 1/3  
  |
З |_ 1/3 __ 0 (объявление)
  |
С |_ 1/3 __ 2/3

т.е. объявление переносит потенциал с зеленого на синий, не меняя красного

потому-то и синий становится в 2 раза вероятнее для выживания

сие наглядно демонстрирует превосходство здоровой интуиции над формальными рассужденями, или, по Хайдеггеру, подлинного вот-бытия над ложным

ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

вариант 1
у нас есть три конфеты с вероятностью годности каждой 1/3,
ибо годная только одна из них, а две - не годные.
откладываем не глядя одну (пусть 1-ю) в сторону.
вскрываем еще одну (пусть 2-ю) и она оказалась негодной.
как изменятся вероятности годности отложенной и оставшейся?

вариант 2
у нас есть три конфеты с вероятностью годности каждой 1/3,
ибо годная только одна из них, а две - не годные.
вскрываем одну (пусть 2-ю) и она оказалась негодной.
как изменятся вероятности годности двух других?

обозначим
Г(k)=1 если конфета k годная и Г(k)=0 если нет,
p(k) = p(Г(k)=1) = 1/3 - вероятность годности конфеты k,
p(k/i) = p(Г(k)=1 / Г(i)=1) - усл.вероятность годности конфеты k при годности конфеты i,
q(k/i) = p(Г(k)=1 / Г(i)=0) - усл.вероятность годности конфеты k при негодности конфеты i,
k,i=1,2,3

чему равны q(1/2) и q(3/2) ?


ИЛИ В ОБЩЕМ

вариант 1
в ящике находятся N шаров и только один из них белый, остальные черные. Наугад вытаскиваем один шар и не глядя откладываем в сторону, затем также наугад вытаскиваем сразу N-2 шара и они все оказались черные.

каковы шансы оказаться белым у отложенного и оставшегося шаров?

вариант 2
в ящике находятся N шаров и только один из них белый, остальные черные. Наугад вытаскиваем сразу N-2 шара и они все оказались черные.

каковы шансы оказаться белым у двух оставшихся шаров?

ПРОГРАММНЫЕ ИСПЫТАНИЯ

вариант 3
у нас есть три конфеты с вероятностью годности каждой 1/3,
ибо годная только одна из них, а две - не годные.
отбираем одну и откладываем ее в сторону.

вариант без Маши
каковы шансы выжить при замене и не замене отложенной на одну из двух других?

вариант с Машей
каковы шансы выжить при замене отложенной годной на не годную и наоборот?

счетчики годности трех конфет (10000 испытаний)
n1          n2          n3
----------- ----------- -----------
3350        3294        3356

счетчики ЖИЗНИ И СМЕРТИ при случайном выборе - ВАРИАНТ БЕЗ МАШИ
менять-не-менять случайную на любую из двух других
жизнь       смерть
----------- -----------
3179        6821

счетчики ЖИЗНИ И СМЕРТИ при случайном выборе - ВАРИАНТ С МАШЕЙ
обязательно менять годную на негодную или не годную на годную
жизнь       смерть
----------- -----------
6639        3361

-- ЗАДАЧА о ТРЕХ КОНФЕТАХ
set nocount on
declare @i int, @k int, @m int, @x int, @r float
declare @T table (n1 int, n2 int,n3 int)
declare @S1 table (l int, m int)
declare @S2 table (l int, m int)

set @i = 0
insert into @T values (0,0,0)
insert into @S1 values (0,0)
insert into @S2 values (0,0)
while @i < 10000 begin
   set @k = 1+3*rand() -- Генератор опр. случ.номер из 1,2,3 годной конфеты
   -- обработка счетчиков годности
   if @k=1 update @t set n1 = n1+1
   if @k=2 update @t set n2 = n2+1
   if @k=3 update @t set n3 = n3+1

   set @x = 1+3*rand() -- Петя отбирает случ.номер из 1,2,3 конфеты себе
   set @r = rand() -- Петя кидает монетку: < 0.5 он не меняет отобранную, >= 0.5 - меняет

   -- Анализ генератором действия Пети в зависимости от текущего расклада годная-выбранная
   if @x=@k begin -- если выбрана годная
      if @r < 0.5 -- не меняет
         update @S1 set l = l+1 -- не меняем годную на не годную - увелич счетчик жизни
      else begin  -- меняет
         update @S1 set m = m+1 -- меняем годную на не годную - увелич счетчик смерти
      end
      update @S2 set m = m+1 -- Маша - меняем годную на не годную - увелич счетчик смерти
   end else begin -- если выбрана не годная 
      set @m = 2+2*rand() -- случ.номер из 2,3 конфеты для замены
      if @x = 2 and @m = 2 set @m = 1 -- переопр. номер для завмены если он совпал с номером выбранной 2 - на 1 из 1,3 
      if @x = 3 and @m = 3 set @m = 2 -- переопр. номер для завмены если он совпал с номером выбранной 3 - на 2 из 1,2
      if @r < 0.5 -- не меняет
         update @S1 set m = m+1 -- не меняем не годную - увелич счетчик смерти
      else begin  -- меняет
         if @m = @k -- номер для замены совпал с номером годной
            update @S1 set l = l+1 -- меняем не годную на годную - увелич счетчик жизни
         else begin
            update @S1 set m = m+1 -- меняем не годную на не годную - увелич счетчик смерти
         end
      end
      update @S2 set l = l+1 -- Маша - меняем не годную на годную - увелич счетчик жизни
   end

   set  @i = @i+1
end
print 'счетчики годности трех конфет (10000 испытаний)'
select * from @T
print 'счетчики ЖИЗНИ И СМЕРТИ при случайном выборе - ВАРИАНТ БЕЗ МАШИ'
print 'менять-не-менять случайную на любую из двух других'
select 'жизнь'=L, 'смерть'=M from @S1
print 'счетчики ЖИЗНИ И СМЕРТИ при случайном выборе - ВАРИАНТ С МАШЕЙ'
print 'обязательно менять годную на негодную или не годную на годную'
select 'жизнь'=L, 'смерть'=M from @S2