то пространство несвязано, а база его топологии образована открыто-замкнутыми областями,
являющимися компонентами пространства.
Но если элементы базы - одноэлементные множества,
то все точки пространства отделены друг от друга
и в пространстве действует только классическая логика.
дополнение 2009.
Пусть T - топ.пространство, A - его область, -A = T-A - дополнение области A,
k(A) - ядро области A, c(A) - замыкание области A, b(A) - граница области A,
g_in(A) - внутренняя грань области A, g_ex(A) - внешняя грань области A.
Тогда T = k(A) + b(A) + k(-A) = c(A) + k(-A) = k(A) + c(-A);
b(A) = b(-A) = g_in(A) + g_ex(A) = c(A)*c(-A); g_in(A) = g_ex(-A); g_ex(A) = g_in(-A);
A = k(A) + g_in(A); c(A) = A + g_ex(A) = k(A) + b(A); c(-A) = -k(A)
и k(A) <= A <= c(A).
Стало быть, в общем случае топология разбивает топ.пространство
относительно произвольной области A на три непересекающиеся области:
- ядро k(A) - твердое утверждение (необходимость) A,
- ядро дополнения k(-A) - твердое отрицание (необходимость) -A и
- границу b(A) - пересечение замыканий - конъюнкцию утверждения и отрицания.
Замыкания c(A) и c(-A) суть возможности утверждения и отрицания.
Следовательно, логика, индуцированная топологией,
в общем случае 3-значна с нарушением закона исключенного третьего.
Здесь необходимость всегда не больше возможности и пространство связанно.
Основной закон: c(-A) = -k(A) - возможность отрицания есть отрицание необходимости.
Обратный закон: -c(A) = k(-A) - отрицание возможности есть необходимость отрицания.
Если все границы пусты, логика становится 2-значной,
возможность всегда совпадает с необходимостью, всякая область
совпадает со своими ядром и замыканием и пространство распадается
на свои элементы, т.е. абсолютно несвязанно.
Основной закон становится тавтологией.
Что соответствует идеалу Аристотеля.
и куда падает современность.
