az118 (az118) wrote,
az118
az118

порядковые типы и натуральные числа

Порядок на множестве S - это бинарное отношение < на S такое, что оно
1) антисимметрично:  для любых x и y из S из x < y следует не y < x;
2) транзитивно: для любых x,y и z из S из x < y и y < z следует x < z.

Первый элемент порядка - элемент F из S такой, что из x < F следует x=F.
Последний элемент порядка - элемент L из S такой, что из L < x следует x=L.
Следующий за x элемент - элемент x+1 из S такой, что из x < y и y < x+1 следует y=x+1.
Предшествующий x элемент - элемент x-1 из S такой, что из x-1 < y и y < x следует y=x-1.
Если y следующий за x элемент, то x - предшествующий y элемент.

Первых и последних элементов порядка в S может не быть или быть несколько.
Следующих за x элементов может не быть или быть несколько.
Предшествующих x элементов не более одного.

Линейный порядок на S - порядок на S такой, что
3) для любых x и y из S либо x < y, либо y < x, но не то и другое.

Первого и последнего элементов линейного порядка в S может не быть или быть не более одного.
Следующих за x элементов и предшествующих x элементов линейного порядка не более одного.

Полный порядок на S - линейный порядок на S такой, что
4) есть первый элемент xmin:
5) для каждого x (кроме последнего xmax) есть следующий за x элемент x+1:

S = {xmin, xmin+1,... }.

Предшествующие элементы при полном порядке могут быть не у всех x из S.

Порядковый тип - это класс всех изоморфных порядков.

Порядковое число -это минимальный репрезентант порядкового типа.

Левый сегмент S(x) элемента x полного порядка - S(x) = {y из S: y < x}.

Множество всех левых сегментов S(1) = {S(x): x из S} = {0, {xmin}, {xmin, xmin+1},... }, где 0={}, - производная первого порядка множества S полного порядка, изоморфная ему.

Аналогично, по индукции, S(k+1) = (S(k))(1) - производная k+1 порядка множества S полного порядка.

Все производные множества S полного порядка изоморфны ему и друг другу.

Натуральный порядок - полный порядок, при котором у каждого элемента, кроме первого, есть предшествующий ему.

Для различных, но равномощных множеств натурального порядка S и T справедливо |S| = |T| и S(|S|) = T(|T|).

Для множества S мощности |S| натурального порядка S(|S|+1) = S(|S|).

Стало быть, S(|S|) - репрезентант всех множеств натурального порядка, равномощных множеству S.

Натуральный ряд N = S(|S|), где S - произвольное множество натурального порядка, не имеющее последнего элемента, т.е. бесконечное, содержит все свои левые сегменты как свои элементы.

Натуральный ряд - репрезентант бесконечного натурального порядка из элементов-репрезентантов всех конечных натуральных порядков:

N = {0={}, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2), ...}
Tags: натуральный ряд, порядок 8
Subscribe

  • философия как праздник

    Отвлеченное мышление — праздник? Высшая форма существования? Воистину так. Однако тут же нам надо обратить внимание на то, как Ницше понимает…

  • что есть история...

    для одних просто рассказ о прошлом - приключилась, мол, однажды со мной (или не со мной, но в моем городе, или стране, или в Японии, Корее ...)…

  • О познании истории

    Оригинал взят у sverc в О познании истории Исторический процесс можно представить в виде многоугольника, помещённого в центре комнаты.…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments