точка, сумма растояний от которой до каждой точки множества минимальна.
Простейшие случаи.
Две точки
Центральная точка множества из 2 точек - любая точка на соединяющим их отрезке.
Три точки
Если все три точки лежат на одном отрезке прямой, то их центральная точка - точка между крайними точками отрезка.
В противном случае три точки образуют вершины треугольника на плоскости.
Для удобства ориентируем данный треугольник так:
если есть тупой угол, он будет верхним углом, противолежащая верхнему углу в точке с координатами (A,B) сторона левым краем имет точку (0,0) и правым краем - точку (C,0).
Для левой стороны (0,0)-(A,B) треугольника найдем точку (X1,Y1), представляющую вершину равностороннего треугольника с основанием (0,0)-(A,B) и соединим ее с точкой (C,0) отрезком (X1,Y1)-(C,0).
Аналогично, для правой стороны (С,0)-(A,B) треугольника найдем точку (X2,Y2), представляющую вершину равностороннего треугольника с основанием (C,0)-(A,B) и соединим ее с точкой (0,0) отрезком (X2,Y2)-(0,0).
Искомой центральной точкой (X,Y) вершин треугольника будет пересечение полученных отрезков (X1,Y1)-(C,0) и (X2,Y2)-(0,0), если оно находится внутри треугольника, или его верхняя вершина (A,B) в противом случае.
(X2,Y2)
(X1,Y1) *
* (A,B)
*
.
.
B.
. * (X,Y)
.
A . C-A
*-------*-----------*
(0,0) (A,0) (C,0)
Точка (X1,Y1) лежит на пересечении радиусов длиной A^2 + B^2 с центрами (0,0) и (A,B):
X1^2 + Y1^2 = A^2 + B^2
(X1-A)^2 + (Y1-B)^2 = A^2 + B^2
Точка (X2,Y2) - на пересечении радиусов длиной (С-A)^2 + B^2 с центрами (C,0) и (A,B):
(X2-C)^2 + Y2^2 = (C-A)^2 + B^2
(X2-A)^2 + (Y2-B)^2 = (C-A)^2 + B^2
Отсюда получаем:
X1 = (A-√3*B)/2, Y1 = (B+√3*A)/2,
X2 = (A+C+√3*B)/2, Y2 = (B+√3*(C-A))/2,
и находим уравнения двух прямых, проходящих
через точки (X1,Y1-(C,0):
P1*X1 + Q1 = Y1
P1*C + Q1 = 0
P1*(X1-C) = Y1
P1 = Y1/(X1-C)
Q1 = -P1*C = -Y1*C/(X1-C),
и через точки (X2,Y2)-(0,0):
p2*X2 = Y2
P2 = Y2/X2
и точку (X,Y) их пересечения:
P1*X + Q1 = Y
P2*X = Y
X = Q1/(P2-P1) =
= -Y1*C/(X1-C) / [Y2/X2 - Y1/(X1-C)] =
= C*Y1 / [X2*Y1 - (X1-C)*Y2]
Y = P2*X = C*Y1*Y2 / [XZ*[X2*Y1 - (X1-C)*Y2]].
Сумма расстояний от центральной точки до вершин:
L(X,Y) = √[X^2+Y^2] + √[(C-X)^2+Y^2] + √[(A-X)^2+(B-Y)^2],
свойство минимума
dL/dX = X/√[X^2+Y^2] - (C-X)/√[(C-X)^2+Y^2] - (A-X)/√[(A-X)^2+(B-Y)^2] = 0
dL/dY = Y/√[X^2+Y^2] - Y/√[(C-X)^2+Y^2] - (B-Y)/√[(A-X)^2+(B-Y)^2] = 0
Для равнобедренного треугольника C = 2*A,
X1 = (A-√3*B)/2, Y1 = Y2 = (√3*A+B)/2,
X2 = √3*(√3*A+B)/2,
X = A, Y = min(A/√3,B).
Центральная точка вершин ромба - точка пересечения его диагоналей.
Приложение
Треугольник с фиксированными длиной основания C, высотой B и минимальной длиной периметра - равнобедренный треугольник, высота которого есть медиана верхнего угла.
Действительно, длина периметра такого треугольника есть функция длины проекции X левой стороны на основание:
P(X) = C + √[X^2+B^2] + √[(C-X)^2+B^2],
имеюая минимум при равенстве 0 ее производной по X:
dP/dX = X / √[X^2+B^2] - (C-X) / √[(C-X)^2+B^2] = 0
или
X^2*(C-X)^2 + x^2*B^2 = X^2*(C-X)^2 + (C-x)^2*B^2
откуда
X^2 = (C-X)^2
или
2*X = C
и
X = C/2
P(X) = C + 2*√[C^2/4+B^2]