Не существует натуральных чисел x, y, z и n > 2 таких, что xn+yn = zn,
где x и y взаимно-простые, ибо на общий делитель можно сократить.
При n = 2 имеем x2 + y2 = z2, где x = 2pq, y = p2-q2, z = p2+q2 и p=2,3,... и q=1,2,...,p-1 - взаимно-простые разной четности, откуда x - четное, y и z - нечетные, z-y = 2q2, z+y = 2p2 и суммы и разности четного числа степеней y и z - четные, а нечетного числа - нечетные.
При n = km, где m простое, имеем (xk)m + (yk)m = (zk)m и можно ограничирться простым n = 2m+1.
Формально возможны два случая:
1. x и y оба нечетные откуда x+y и z четные и (x+y) (x2m - x2m-1y+...+y2m) = z2m+1.
2. x четное, y нечетное откуда z нечетное, z-y четное и (z-y) (z2m + z2m-1y+...+y2m) = x2m+1.
Обобщенная гипотеза:
Для любого простого n существуют натуральные числа x0, x1, …, xn такие, что
x0n = x1n +…+ xnn .
При n = 3 существуют t,x,y,z (например 6,3,4,5) такие, что t3 = x3 + y3 + z3