положим
qk (c,x) = cxk exp(-cx) = v u '
очевидно
∫ q0 (c,x) dx = с exp(-cx) = q0 (c,x)
далее интегрируем по частям:
∫ [v u ' dx] = u v - ∫ [u v ' dx]
v = xk; u ' = c exp(-cx); u = -exp(-cx); v ' = k xk-1;
∫ qk (c,x) dx = -xk exp(-cx) + k/c ∫ [cx k-1 exp(-cx) dx] = -xk exp(-cx) - k/c ∫ [qk-1 (c,x) dx] =
= -xk exp(-cx) - k/c xk-1 exp(-cx) + k(k-1)/c2 ∫ [qk-2 (c,x) dx] =...=
= -[xk+kxk-1/c+k(k-1)xk-2/c2+...+k!/ck] exp(-cx)
Sk (c) = ∫ [qk (c,x) dx] [0;∞] = [xk+kxk-1/c+k(k-1)xk-2/c2+...+k!/ck] exp(-cx) [0;∞] = k! / ck
плотность n-Гамма-распределения:
pn (c,x) = qn (c,x) / Sn (c) = c(cx)n / (n!) exp(-cx) , n=0,1,2...
моменты:
mn,k (c) = ∫ [xk pn (c,x) dx] [0;∞] = ∫ [qn+k (c,x) dx] [0;∞] / Sn (c) = Sn+k (c) / Sn (c) = (n+1)(n+2)...(n+k) / сk
матожидание:
En (c) = mn,1 (c) = Sn+1 (c) / Sn (c) = (n+1) / с
дисперсия:
Dn (c) = mn,2 (c) - [mn,1 (c)]2 = (n+1)(n+2) / c2 - ((n+1) / c)2 = (n+1) / c2
мода:
modn (c) = n / c
________________________________________
Очевидно, что ∑ n=0,1.... pn (c,x) = с [ ∑ n=0,1.... (cx)n/(n!) ] exp(-cx) = с exp(cx) exp(-cx) = с
положим y=cx и получим распределение Пуассона
дискретной случайной величины n с областью значений 0,1,2,..., +бесконечность:
pn (y) = pn (c,x) / c = yn / n! exp(-y)
моменты:
mk (y) = ∑ n=0,1.... nk pn (y)
матожидание:
E (y) = m1 (y) = y
дисперсия:
D (y) = m2 (y) - [m1 (y)]2 = y(y+1) - y2 = y