az118 (az118) wrote,
az118
az118

Автодифференциальные функции

Автодифференциальные функции порядка n - дифференцируемые функции, совпадающие со своей производной n-го порядка:

f (n)x = f (x),

где  f (0)x = f (x),  f (k)x = d f (k-1)x / dxk = 1,2,...n.

Отметим, что если  f (x) = b e cx,  то  f (1)x = c f (x) и, сл-но,  f (n)x = cn f (x), 
стало быть  cn = 1,  откуда  c = cos 2π k/n + i sin 2π k/nk=1,2,...,n.

Тогда

f (1)x = f (x) = b e x,    f (2)x = f (x) = b e -x,    f (3)x = f (x) = b e (I √3 - 1) / 2 x,
f (4)x = f (x) = b e i x = b (cos x + i sin x) (или просто  b cos x  или  b sin x),

Т.о. Автодифференциальные функции - это экспоненты и две тригонометрические функции, которые хорошо разлагаются в ряд Макларена

f (x) = f (0)x (0) + x f (1)x (0) + x2/ 2 f (2)x (0) + ... + xn / n! f (n)x (0) + ...
Tags: математика, функции
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments