az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

Золотые числа и распределения

Принцип классического золотого сечения:

Большая часть относится к целому как меньшая к большей

Естественно целое полагать 1, а большую часть обозначить φ.

Тогда меньшая часть равна 1-φ и  золотой принцип примет вид

  (1)  φ = (1-φ) / φ,

откуда бинарное золотое распределение

  (2) φ + φ2 = 1.

Из (2) следует

  (3) φ = 1 / (1+φ) = (1+φ) / (2+φ) = (Fk + Fk-1 φ) / (Fk+1 + Fk φ) =
           =
lim Fk / Fk+1 = (√5 - 1)/2 = 0.6180 - предел отношения соседних членов ряда Фибоначчи

  (4) F1 = 0, F2 = 1..., Fk+1 = Fk + Fk-1 = 2Fk - Fk-2

Нетрудно показать

  (5)  Fk+j = FkFj + Fk+1Fj+1

и по индукции

  (6) Fk = φFk+1 + (-φ) k = Fk-1 / φ + (-φ) k-2 = [φ2 + (-φ2) k] / [(φ2+1)φ k]

Как легко видеть,

  (7)  φ k Fk + φ k-1 Fk+1 = 1

где φ k Fk = [φ2 + (-φ2) k] / (φ2+1) стремится к

φ2 / (φ2+1) = 0,27639320...


Если частей больше двух, то получаем

Принцип обобщенного золотого сечения:

Наибольшая часть относится к целому как следующая за наибольшей к наибольшей,
и, в общем, как следующая к предыдущей в порядке убывания величин частей.


Попрежнему целое будем полагать 1, а наибольшую часть обозначим φm,
где  m - число частей.

Тогда обобщенный золотой принцип примет вид

  (8) φm = φm2/φm = φm3/φm2 =...= (1 - φm - φm2 -...- φmm-1)/φmm-1

откуда n-нарное золотое распределение

  (9) φm + φm2 +...+ φmm = 2φm - φmm+1 = 1

φ1 = 1,  φ2 ≈ 0.61803...,  φ3 ≈ 0.54307...,  φ4 ≈ 0.51879... и  т.д.

В пределе с ростом числа частей φm стремится к 1/2, являясь пределом отношения соседних членов обобщенного ряда Фибоначчи:

  (10) Fm,1 =...= F m,m-1 = 0, Fm,m = 1,  ..., Fm,k+1 = Fm,k + Fm,k-1 +...+ F m,k-m+1 = 2Fm,k - Fm,k-m

и φm = lim Fm,k / Fm,k+1

Нетрудно показать что

i=0...m-1 φmk-i j=0...i Fm,k-j = 1

Части целого часто являются вертикальными уровнями иерархии бытия.


Приложение
Метод Ньютона


Корень уравнения f(x) = 0, где f(x) - монотонная функция,
легко найти методом касательных:

x' = x - f(x) / f'(x)

При  f(x) = x n+1- 2x +1 = 0

f'(x) = (n+1)x n- 2

и

x' = (nx n+1-1) / ((n+1)x n-2)

при начальном  x = 1 / 2 за 6-7 итераций достигается
точность 6 знаков после запятой.
Tags: золотые числа
Subscribe

  • Ватушка

    Оригинал взят у rusnar в Ватушка

  • о ватниках

    Wotan и его асы-ватники из Азии :) и эльфы Толкина пришли на запад из восточной Азии...

  • о русской вате

    До самоизоляции Японии при сегунате Токугава за полвека до русской миссии Спафария в Китай (1674 г) у Китая, Кореи и Японии были тесные отношения с…

  • цена прогресса

    Сегодня Китай, Южная Корея, Япония — главные локомотивы мирового развития и экономического роста. Однако прогнозы на их будущее мрачны — при тех…

  • власть, государство и интеллигенция

    Власть не должна быть ни у технарей-физиков, ни у гуманитариев-лириков, ни у законников-идеологов. это все не власть, а об-слуга общества и…

  • расизм и прогрессизм

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 7 comments