June 2nd, 2006

centaur

Линейный порядок

Цепи и сечения

Пусть Aмножество.

Порядок на Aтранзитивное отношение < на A:

для любых x,y,zÎA из x<y и y<z следует x<z.

Линейный порядок на Aантисимметричный порядок на A:

для любых различных x,y A  либо x<y, либо y< x.

Цепь множество с линейным порядком.

Любое подмножество цепи A снова цепь, называемая подцепью цепи A.

Точкаэлемент цепи.

Пустое множество: 0={ }.

Сечения и сегменты

Сечение цепи A разбиение цепи A на две подцепи

-B (нижний сегмент) и B (верхний сегмент) такие, что каждый элемент нижнего сегмента предшествует любому элементу верхнего сегмента.

Сечение Ax  цепи A по элементу x разбиение цепи A на три подцепи:

-Ax={y: yÎA и y<x} (нижний сегмент элемента x), {x} и

Ax={y: yÎA и x<y} (верхний сегмент элемента x).

Интервал (x,y), x<y – пересечение Ax и -Ay: (x,y)={z: zÎA и x<z<y}

 

Если x<y, то -Ax= -(-Ay)xÌ-Ay, т.е. нижний сегмент меньшего элемента есть нижний сегмент нижнего сегмента любого большего. Существует естественная биекция множества элементов цепи A на множество W (A)={-Ax: xÎA} их нижних сегментов, которое, как нетрудно видеть, само является цепью. Цепь W (A) назовем башней над  цепью A. Ясно, что W(0)=0 и при любом x W({x})={0}.

 

Нижняя грань min(A) цепи Aэлемент, нижний сегмент которого пуст: -Ax={ }.

Верхняя грань max(A)  цепи Aэлемент, верхний сегмент которого пуст: Ax={ }.

Цепь ограничена снизу (сверху), если она имеет нижнюю (верхнюю) грань.

Цепь ограничена, если она имеет обе грани.

Цепь открыта снизу (сверху), если она не имеет нижнюю (верхнюю) грань.

Цепь открыта, если она открыта и снизу и сверху.

Цепь полуоткрыта, если она открыта только снизу или только сверху.

Цепь полная снизу (сверху), если всякая ее подцепь ограничена снизу (сверху).

Цепь полная, если она полная и снизу и сверху.

Любая подцепь полной (снизу, сверху) цепи полная (снизу, сверху) цепь.

Цепь непрерывна снизу  в точке x, если нижний сегмент -Ax открыт сверху.

Цепь непрерывна сверху  в точке x, если верхний сегмент Ax открыт снизу.

Цепь непрерывна  в точке x, если она непрерывна в x и снизу и сверху.

 

Открытый элемент цепи – элемент, в котором цепь непрерывна.

Внутренний элемент цепи – элемент, не являющийся гранью цепи.

Скачки и щели

Нижний скачок – сечение по элементу, в котором нижний сегмент -Ax  ограничен сверху, а верхний сегмент Ax  открыт снизу. Элемент x называется точкой нижнего скачка, а max(-Ax) и xсоседними элементами. В точке нижнего скачка цепь непрерывна сверху, но не снизу. Множество SDA точек нижних скачков цепи A, включая возможные грани, является подцепью цепи A.

 

Верхний скачок – сечение по элементу, в котором нижний сегмент -Ax открыт сверху, а верхний сегмент Ax  ограничен снизу. Элемент x называется точкой верхнего скачка, а x и min(Ax) – соседними элементами. В точке верхнего скачка цепь непрерывна снизу, но не сверху. Множество SUA точек верхних скачков цепи A, включая возможные грани, является подцепью цепи A.

 

Скачок – сечение по элементу, в котором нижний сегмент -Ax  ограничен сверху, а верхний сегмент Axснизу. Элемент x называется точкой скачка, а max(-Ax) и min(Ax) – соседними элементами элемента x. В точке скачка цепь не является непрерывной ни снизу, ни сверху. Множество SA точек скачков цепи A, включая возможные грани, является подцепью цепи A.

 

Элемент выделен, если он имеет два соседа, если он внутренний, или одного соседа, если он является гранью. Всякая точка скачка выделена и наоборот.

Соседние элементы отделены друг от друга и не являются открытыми элементами.

 

Верхние и нижние скачки будем также называть полускачками.

 

Щель – сечение, в котором нижний сегмент открыт сверху, а верхний - снизу. Если цепь A имеет щели, то она может быть собственной подцепью некоторой другой цепи A*. Тогда множество QA щелей цепи A изоморфно подцепи QA*  цепи A*=AÈQA*.

centaur

Линейный порядок - 2

Дискретное и непрерывное

Цепь A дискретна, если SA=A.

В дискретной цепи нет щелей и открытых элементов. Всякий элемент дискретной цепи выделен и является точкой скачка. Полная цепь конечна, ограничена и дискретна. Любая ограниченная дискретная цепь полна и конечна. Любая конечная цепь ограничена и является полной дискретной цепью. Все непустые интервалы в дискретной цепи ограничены. Всякая полная цепь есть объединение своих подцепей. Цепь, полная только снизу, бесконечна сверху  и либо дискретна, либо полудискретна снизу, если есть верхние  скачки. Аналогично для цепи, полной только сверху. Если дискретная или полудискретная цепь A не имеет верхней грани, то башня W(A)={-Ax: xÎA} также ее не имеет. Тогда не существует максимального нижнего сегмента и, следовательно, объединения всех нижних сегментов. А это означает, что цепь A не является таким объединением. Более того, она не является объединением всех своих элементов, и потому не состоит из них.

 

Цепь A непрерывна, если SA=SDA=SUA=QA={ }, т.е. если она непрерывна в каждой точке: для любых x,y A, x<y, существует zÎA, x<z<y. Не существует цепей, непрерывных в каждой свой точке только снизу (сверху). Действительно, если  цепь непрерывна только снизу в точке x, то верхний сегмент Ax ограничен снизу и, следовательно, в точке min(Ax) цепь непрерывной снизу уже не будет.

 

Нить – непрерывная цепь.

В нити нет скачков и, стало быть, отделенных элементов и пустых интервалов. Любая нить не полна ни снизу, ни сверху, поскольку непустые интервалы открыты.

Открыты и все элементы нити.

 

Для открытой снизу (сверху) нити не существует пересечения (объединения) всех ее подцепей, поскольку такое пересечение (объединение) было бы ее нижней (верхней) гранью.

 

Бесконечные цепи не состоят из своих элементов. Но так как любое множество можно линейно упорядочить, то бесконечные множества также не состоят из своих элементов.