Напомним: m -арное золотое число - это максимальный действительный корень золотого m -арного золотого распределения (1) φ m + φ m 2 +... + φ m m = 1 или (2) φ m m+1 - 2 φ m + 1 = 0 со значениями φ 1 = 1, φ 2 ≈ 0.618..., φ 3 ≈ 0.543..., φ 4 ≈ 0.519... и т.д. В пределе с ростом числа частей φ m стремится к 1 / 2, являясь пределом отношения соседних членов обобщенного m- ряда Фибоначчи: (3) F (m) 1 =...= F (m) m-1 = 0 , F (m) m = 1 , ..., F (m) k+1 = F (m) k + F (m) k-1 +...+ F (m) k-m+1 Понятно, что золотые числа иррациональны и отсюда из (1) и (2) вытекает несуществование таких натуральных p и q , что p < q и (4) q m - p m - p m-1 q -...- pq m-1 = 0. и (5) p m+1 + q m+1 - 2 pq m = 0. Однако если p и q - соседние члены некоторого 2-ряда Фибоначчи, то выражение (4) постоянно до знака, который меняется на противополжный при сдвиге на один член вправо, для всех его членов: (6) q 2 - p 2 - pq = с и (7) p 3 + q 3 - 2 pq 2 = cp . и обозначив p' = q, q' = p+q, получаем (8) q '2 - p' 2 - p'q ' = - с и (9) p '3 + q '3 - 2 p'q '2 = -cp . Доя стандартного 2-ряда с начальными членами 0,1 c = 1. При этом p' = p 2 + q 2 и q' = 2 pq + q 2 также соседние члены ряда. Отношение p / q стремится к φ m