July 25th, 2013

red dragon

Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?

Оригинал взят у furia_krucha в Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?
Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка.

Изначальная формулировка теоремы Гёделя — полностью синтаксическая: если формальная теория из определённого класса непротиворечива, то она и неполна. Метафизический флёр ей придаёт семантический „довесок“ (точнее „долив“) — замечание о том, что недоказуемое гёделево высказывание истинно. Откуда и делается неутешительный вывод



формальные теории принципиально ущербны (неполны): они не могут доказать некоторые истинные высказывания.



Что же, в данном случае, понимается под истинностью? А то, что гёделево высказывание выполняется в „стандартной модели“ (no relation) арифметики, где термам формальной теории „из определённого класса“ сопоставляются выражения из обычных натуральных чисел и арифметических операций. Понятно, что непредвзятый наблюдатель (не постулирующий заранее, что модель важнее формальной теории) мог бы сделать совершенно симметричное заключение:



модели принципиально ущербны (переполнены): в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют.



Вот две точки зрения: первая считает первоначальной истину, вторая доказательство. Действительно ли они равноправны? Конечно нет, однако не по той причине (и не в ту сторону), как обычно полагают. Дело в том, то „синтаксис“, т.е. формальная теория и сопутствующее ей понятие доказательства — один, а соответствующих ему моделей (в которых определена истинность) — много. Поэтому синтаксические понятия, включая доказательство, обладают выделенным статусом, по отношению к массе возможных моделей. Более того, как успокаивает нас теорема Гёделя о полноте (более важная, чем её знаменитая почти-тёзка) высказывание доказуемо тогда и только тогда, когда оно истинно во всех моделях. Значит недоказуемое высказывание, вроде гёделевого, обязательно ложно в некоторых моделях:



модели принципиально ущербны: в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют и которые необходимо ложны в других моделях (т.е. модели обязательно противоречат друг другу).



Представление о первичности истинности по отношению к доказательству и содержимого по отношению к форме очень древнее и распространённое. Вот некоторые его проявления:

  • математические объекты существуют автономно и независимо от нас;

  • классический натуральный ряд (т.е. инициальная модель аксиом Пеано) обладает особым статусом среди всех моделей;

  • математика есть неформализуемое созерцание эйдосов;

  • на самом деле Пятый Постулат Евклида (в совр. варианте — континуум гипотеза, аксиома выбора) верен (не верен);

  • „Какая сложная у тебя профессия: у меня столько идей, а не могу написать ни строчки“ — жалоба Э. Моне Малларме.


А вот как выглядит противоположная точка зрения:

  • Лейбниц не мог знать телефона Анны Карениной;

  • математика есть комбинаторная деятельность, как и сочинение сонетов, кулинария и военное искусство;

  • варьировать нижележащую теорию множеств (и даже логику) так же естественно и полезно, как и локальную систему координат;

  • „Стихи, мой друг, пишутся из слов, а не из идей“.


Не претендуя на историческую достоверность, первую систему взглядов можно назвать „вавилонской“ — жители Междуречья знали и использовали много полезных математических истин, но идея их доказательства в систематической форме им была неинтересна. Вторая же позиция, несомненно, греческая — торговцы и софисты не переставая что-то доказывали, включая и вещи совершенно бесполезные: „Со времён греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство»“ (Н. Бурбаки).

Шутка.

_________________________________________________________________

итак,  " греки" против "вавилонян".

"греки" (перипатетики) понимают сущность как формальную доказуемость, т.е. выводимость
по формальным правилам формул или их отрицаний (игра в бисер).

"вавилоняне" (платоники) созерцают сущности как вечные надмирные эталоны вещей.

а третьи слагают стихи не из идей и слов, но из энергий и разного сора
и берут плоды и женщин без доказательств и надмирности :)

три образа [без]действия

на сладкое - HARMONIST

ЗЫ
Инициальная модель Пеано
x=y → (x=z→y=z), ¬(x'=0);
x=y → x'=y', x'=y' → x=y ;
x+0 = x, x+y' = (x+y)';
x∙0 = 0, x∙y' = (x∙y)+x;
(F(0)∧(∀x)(F(x)→F(x'))) → (∀x)(F(x)) 
red dragon

сущность и существование

существовать значит быть воспринимаемым (с) Беркли.

а быть воспринимаемым значит быть вне себя в воспринимающем.

воспринимающим может быть и муравей, и Бог.

или электрон

экзистенция - выступление из себя в другое

понятно, что бытие вне себя принципиально отлично от бытия в себе

стало быть, не-существовать значит быть только в себе

но только себя не существует и посему

не-существовать значит быть во всем, т.е. быть бытием, но не сущим.

ЗЫ
У Аристотеля подлинное бытие - бытие актуальное, т.е. статуарное
и действующее, а неподлинное - потенциальное, т.е. текучее становление,

которое у Гераклита есть проявление всегда одного и того же Огня-Логоса,
правящего миром, .
red dragon

(no subject)

Парижское богословие - либеральная клоака,
акцентировано извращающая природу ипостаси
red dragon

генеалогия структур

да, эти аксиомы задают еще ZF, а из нее можно получить кл.нат.ряд как ее подструктуру:

0, 0', 0'',...

которая будет простейшей среди всех структур данной форм.теории.

вообще все структуры одной форм.теории попарно гомоморфны
и интересны те теории, среди моделей которой есть одна,
являющейся прототипом остальных ее моделей, каковые будут
расширениями прототипа - в данном случае натур.ряда

т.е. созерцается принцип происхождения структур

в разных потомках одно и то же расширительное утверждение
может иметь разную истинность, но истинность прототипических
утверждений во всех моделях будет одинакова
red dragon

познание

созерцается тело, лицо, глаза - окна из тьмы души,
через которые ее проницают и свет из которых проницает тебя

познание всегда единство созерцания и проникновения-овладения

Божеством надо овладеть

Теургия

любовь

война

рождение