March 6th, 2019
43. Нашествие Батыя на Русь и Европу и усиление балтских язычников
порядковые типы и натуральные числа
Порядок на множестве S - это бинарное отношение < на S такое, что оно
1) антисимметрично: для любых x и y из S из x < y следует не y < x;
2) транзитивно: для любых x,y и z из S из x < y и y < z следует x < z.
Первый элемент порядка - элемент F из S такой, что из x < F следует x=F.
Последний элемент порядка - элемент L из S такой, что из L < x следует x=L.
Следующий за x элемент - элемент x+1 из S такой, что из x < y и y < x+1 следует y=x+1.
Предшествующий x элемент - элемент x-1 из S такой, что из x-1 < y и y < x следует y=x-1.
Если y следующий за x элемент, то x - предшествующий y элемент.
Первых и последних элементов порядка в S может не быть или быть несколько.
Следующих за x элементов может не быть или быть несколько.
Предшествующих x элементов не более одного.
Линейный порядок на S - порядок на S такой, что
3) для любых x и y из S либо x < y, либо y < x, но не то и другое.
Первого и последнего элементов линейного порядка в S может не быть или быть не более одного.
Следующих за x элементов и предшествующих x элементов линейного порядка не более одного.
Полный порядок на S - линейный порядок на S такой, что
4) есть первый элемент xmin:
5) для каждого x (кроме последнего xmax) есть следующий за x элемент x+1:
S = {xmin, xmin+1,... }.
Предшествующие элементы при полном порядке могут быть не у всех x из S.
Порядковый тип - это класс всех изоморфных порядков.
Порядковое число -это минимальный репрезентант порядкового типа.
Левый сегмент S(x) элемента x полного порядка - S(x) = {y из S: y < x}.
Множество всех левых сегментов S(1) = {S(x): x из S} = {0, {xmin}, {xmin, xmin+1},... }, где 0={}, - производная первого порядка множества S полного порядка, изоморфная ему.
Аналогично, по индукции, S(k+1) = (S(k))(1) - производная k+1 порядка множества S полного порядка.
Все производные множества S полного порядка изоморфны ему и друг другу.
Натуральный порядок - полный порядок, при котором у каждого элемента, кроме первого, есть предшествующий ему.
Для различных, но равномощных множеств натурального порядка S и T справедливо |S| = |T| и S(|S|) = T(|T|).
Для множества S мощности |S| натурального порядка S(|S|+1) = S(|S|).
Стало быть, S(|S|) - репрезентант всех множеств натурального порядка, равномощных множеству S.
Натуральный ряд N = S(|S|), где S - произвольное множество натурального порядка, не имеющее последнего элемента, т.е. бесконечное, содержит все свои левые сегменты как свои элементы.
Натуральный ряд - репрезентант бесконечного натурального порядка из элементов-репрезентантов всех конечных натуральных порядков:
N = {0={}, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2), ...}
1) антисимметрично: для любых x и y из S из x < y следует не y < x;
2) транзитивно: для любых x,y и z из S из x < y и y < z следует x < z.
Первый элемент порядка - элемент F из S такой, что из x < F следует x=F.
Последний элемент порядка - элемент L из S такой, что из L < x следует x=L.
Следующий за x элемент - элемент x+1 из S такой, что из x < y и y < x+1 следует y=x+1.
Предшествующий x элемент - элемент x-1 из S такой, что из x-1 < y и y < x следует y=x-1.
Если y следующий за x элемент, то x - предшествующий y элемент.
Первых и последних элементов порядка в S может не быть или быть несколько.
Следующих за x элементов может не быть или быть несколько.
Предшествующих x элементов не более одного.
Линейный порядок на S - порядок на S такой, что
3) для любых x и y из S либо x < y, либо y < x, но не то и другое.
Первого и последнего элементов линейного порядка в S может не быть или быть не более одного.
Следующих за x элементов и предшествующих x элементов линейного порядка не более одного.
Полный порядок на S - линейный порядок на S такой, что
4) есть первый элемент xmin:
5) для каждого x (кроме последнего xmax) есть следующий за x элемент x+1:
S = {xmin, xmin+1,... }.
Предшествующие элементы при полном порядке могут быть не у всех x из S.
Порядковый тип - это класс всех изоморфных порядков.
Порядковое число -это минимальный репрезентант порядкового типа.
Левый сегмент S(x) элемента x полного порядка - S(x) = {y из S: y < x}.
Множество всех левых сегментов S(1) = {S(x): x из S} = {0, {xmin}, {xmin, xmin+1},... }, где 0={}, - производная первого порядка множества S полного порядка, изоморфная ему.
Аналогично, по индукции, S(k+1) = (S(k))(1) - производная k+1 порядка множества S полного порядка.
Все производные множества S полного порядка изоморфны ему и друг другу.
Натуральный порядок - полный порядок, при котором у каждого элемента, кроме первого, есть предшествующий ему.
Для различных, но равномощных множеств натурального порядка S и T справедливо |S| = |T| и S(|S|) = T(|T|).
Для множества S мощности |S| натурального порядка S(|S|+1) = S(|S|).
Стало быть, S(|S|) - репрезентант всех множеств натурального порядка, равномощных множеству S.
Натуральный ряд N = S(|S|), где S - произвольное множество натурального порядка, не имеющее последнего элемента, т.е. бесконечное, содержит все свои левые сегменты как свои элементы.
Натуральный ряд - репрезентант бесконечного натурального порядка из элементов-репрезентантов всех конечных натуральных порядков:
N = {0={}, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2), ...}