ряды Фибонначи и рациональные приближения золотых чисел
n-ряд Фибонначи это ряд, в котором члены с номера n+1 равны сумме n предыдущих:
(1) Fn,i = ∑ k=1...n Fn,i-k при i > n.
k-базисный n-ряд Фибонначи это n-ряд Фибонначи, в котором первые n членов, кроме равного 1 k-ого, равны 0:
(2) Fkn,i = 0 при i <= n, Fkn,k = 1.
Легоко видеть что
(3) Fkn,i = ∑ k'=0...k-1 F 1n,i-k' .
Стандартный ряд Фибонначи равен сумме базисных:
(4) Fn,i = ∑ k=1...n F kn,i = ∑ k=0...n-1 (n-k) F 1n,i-k .
В общем произвольный ряд Фибонначи связан с базисными так:
(5) Fn,i+j = ∑ k=1...n Fn,i-1-n+k Fkn,1+n+j = 2 j Fn,i - ∑ k=1...j 2k-1 Fn,i+j-n-k при i > n.
При n = 2 получаем классический ряд Фибонначи с F2,i = Fi, F 12,i = Fi-2 , F 22,i = Fi-1 и
(6) Fi+j = Fi-2 Fj+1 + Fi-1Fj+2= Fi-1Fj + Fi Fj+1.
Пример при n = 3
- i F13,i +F23,i +F33,i = F3,i.
355 = F3,12 = 3 F13,12 + 2F13,11 +F13,10 = 3*81+2*44+24 =
= F3,4+8 = F3,1 F13,12 + F3,2 F23,12 + F3,3 F33,12 = 1*81+1*125+1*149 =
= F3,5+7 = F3,2 F13,11 + F3,3 F23,11 + F3,4 F33,11 = 1*44+1*68+3*81 =
= F3,6+6 = F3,3 F13,10 + F3,4 F23,10 + F3,5 F33,10 = 1*24+3*37+5*44 =
...
= F3,11+1 = F3,8 F13,5 + F3,9 F23,5 + F3,10 F33,5 = 31*1+57*2+105*2 =
= F3,12+0 = F3,9 F13,4 + F3,10 F23,4 + F3,11 F33,4 = 81*1+125*1+149 *1
Легко видеть, при i > n Fn,i+1 = 2Fn,i - Fn,i-n = An Fn,i-n + Qn,i,
где A1 = 1, An = 2An-1 + n = 2(n+1) - (n+2) и при достаточно больших k 0 < Qn,k < Fn,k-n.
Действительно,
Fn,k+1 = 2Fn,k - Fn,k-n = 4Fn,k-1 - 2Fn,k-1-n - Fn,k-n =...=
= 2n+1 Fn,k-n - ∑j=0...n 2j Fn,k-j-n =
= 2n+1 Fn,k-n - ((n+2) Fn,k-n - Qn,k),
где Qn,k = (n+2) Fn,k-n - ∑j=0...n 2j Fn,k-j-n = ∑j=1...n (n+1-2j ) Fn,k-j-n < Fn,k-n = ∑j=1...n Fn,k-j-n,
т.к. из 0 < b1 <...< bn следует ∑j=1...n (n-2j) bj < 0.
Q2,k = F2,k-3 - F2,k-4 = F2,k-5,
Q3,k = 2F3,k-4 + 0F3,k-5 - 4F3,k-6,
Q4,k = 3F4,k-5 + F4,k-6 - 3F4,k-7 - 11F4,k-8,
Q5,k = 4F5,k-6 + 2F5,k-7 - 2F5,k-8 - 10F5,k-9 - 26F5,k-10.
Fn,p+q = ∑k=0...n-1Fn,p+k ∑j=0...k Fn,q-j = Fn,pFn,q + ∑k=1...n-1Fn,p+k (Fn,q+n-k -∑j=1...n-k Fn,q+j)
n Fn,k
2: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
3: 0 0 1 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 1705 3136 5768
4: 0 0 0 1 1 2 4 8 15 29 56 108 208 401 773 1490 2872 5536 10671
5: 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 31 61 120 236 464 912 1793 3525 6930 13624 26784 52656
6: 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 63 125 248 492 976 1936 3840 7617 15109 29970 59448 117920
7: 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 64 127 253 504 1004 2000 3984 7936 15808 31489 62725 124946 248888
8: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 64 128 255 509 1016 2028 4048 8080 16128 32192 64256 128257 256005
n-Золотое число это число φn, делящее единицу на n гармонических частей так, что большая часть, равная φn, относится к единице-целому как следующая к предыдущей, откуда следует
φn + φn2 +...+ φnn = 2φn - φnn+1 = 1.
Нетрудно показать, что φn = Limk φn,k, где
φn,k = Fn,k / Fn,k+1 = (1/2) (Fn,k+1 + Fn,k-n) / Fn,k+1 =
= (1/2) [1 + (An + Qn,k / Fn,k-n)-1] = (1/2) [1 + (An + rn,k)-1],
где 0 <= Qn,k < Fn,k-n и дробь rn,k = Qn,k / Fn,k-n с ростом n монотонно растет от 0 до 1 в пределе.
Обозначив rn = Limk rn,k = φn-(n+1) - An < 1, получаем φn = [1 + (An + rn)-1] / 2.
При n < 4 имеются точные формулы φ1 = 1, φ2 = [51/2-1] / 2, φ3 = [(2971/2+17)1/3 - (2971/2-17)1/3-1] / 3.
При n > 3 точные формулы громоздские и из них не видно как φn зависит от n.
Но ряд φ1,φ2,φ3,..,φn,... закономерно монотонно убывает от 1 до 1/2.
αn,1 < φn = αn,2 - pn (αn,2 - αn,1) < αn,2
где αn,1 = (An+2) / (2(An+1)), αn,2 = (An+1) / (2An),
rn = 1 / (2φn-1) - An = (Anpn) / (An+1-pn) - An
pn = (An+1) (An+1 - 2Anφn)
(1) Fn,i = ∑ k=1...n Fn,i-k при i > n.
k-базисный n-ряд Фибонначи это n-ряд Фибонначи, в котором первые n членов, кроме равного 1 k-ого, равны 0:
(2) Fkn,i = 0 при i <= n, Fkn,k = 1.
Легоко видеть что
(3) Fkn,i = ∑ k'=0...k-1 F 1n,i-k' .
Стандартный ряд Фибонначи равен сумме базисных:
(4) Fn,i = ∑ k=1...n F kn,i = ∑ k=0...n-1 (n-k) F 1n,i-k .
В общем произвольный ряд Фибонначи связан с базисными так:
(5) Fn,i+j = ∑ k=1...n Fn,i-1-n+k Fkn,1+n+j = 2 j Fn,i - ∑ k=1...j 2k-1 Fn,i+j-n-k при i > n.
При n = 2 получаем классический ряд Фибонначи с F2,i = Fi, F 12,i = Fi-2 , F 22,i = Fi-1 и
(6) Fi+j = Fi-2 Fj+1 + Fi-1Fj+2= Fi-1Fj + Fi Fj+1.
Пример при n = 3
- i F13,i +F23,i +F33,i = F3,i.
1 1 0 0 1
2 0 1 0 1
3 0 0 1 1
4 1 1 1 3
5 1 2 2 5
6 2 3 4 9
7 4 6 7 17
8 7 11 13 31
9 13 20 24 57
10 24 37 44 105
11 44 68 81 193
12 81 125 149 355
...355 = F3,12 = 3 F13,12 + 2F13,11 +F13,10 = 3*81+2*44+24 =
= F3,4+8 = F3,1 F13,12 + F3,2 F23,12 + F3,3 F33,12 = 1*81+1*125+1*149 =
= F3,5+7 = F3,2 F13,11 + F3,3 F23,11 + F3,4 F33,11 = 1*44+1*68+3*81 =
= F3,6+6 = F3,3 F13,10 + F3,4 F23,10 + F3,5 F33,10 = 1*24+3*37+5*44 =
...
= F3,11+1 = F3,8 F13,5 + F3,9 F23,5 + F3,10 F33,5 = 31*1+57*2+105*2 =
= F3,12+0 = F3,9 F13,4 + F3,10 F23,4 + F3,11 F33,4 = 81*1+125*1+149 *1
Легко видеть, при i > n Fn,i+1 = 2Fn,i - Fn,i-n = An Fn,i-n + Qn,i,
где A1 = 1, An = 2An-1 + n = 2(n+1) - (n+2) и при достаточно больших k 0 < Qn,k < Fn,k-n.
Действительно,
Fn,k+1 = 2Fn,k - Fn,k-n = 4Fn,k-1 - 2Fn,k-1-n - Fn,k-n =...=
= 2n+1 Fn,k-n - ∑j=0...n 2j Fn,k-j-n =
= 2n+1 Fn,k-n - ((n+2) Fn,k-n - Qn,k),
где Qn,k = (n+2) Fn,k-n - ∑j=0...n 2j Fn,k-j-n = ∑j=1...n (n+1-2j ) Fn,k-j-n < Fn,k-n = ∑j=1...n Fn,k-j-n,
т.к. из 0 < b1 <...< bn следует ∑j=1...n (n-2j) bj < 0.
Q2,k = F2,k-3 - F2,k-4 = F2,k-5,
Q3,k = 2F3,k-4 + 0F3,k-5 - 4F3,k-6,
Q4,k = 3F4,k-5 + F4,k-6 - 3F4,k-7 - 11F4,k-8,
Q5,k = 4F5,k-6 + 2F5,k-7 - 2F5,k-8 - 10F5,k-9 - 26F5,k-10.
Fn,p+q = ∑k=0...n-1Fn,p+k ∑j=0...k Fn,q-j = Fn,pFn,q + ∑k=1...n-1Fn,p+k (Fn,q+n-k -∑j=1...n-k Fn,q+j)
n Fn,k
2: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
3: 0 0 1 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 1705 3136 5768
4: 0 0 0 1 1 2 4 8 15 29 56 108 208 401 773 1490 2872 5536 10671
5: 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 31 61 120 236 464 912 1793 3525 6930 13624 26784 52656
6: 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 63 125 248 492 976 1936 3840 7617 15109 29970 59448 117920
7: 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 64 127 253 504 1004 2000 3984 7936 15808 31489 62725 124946 248888
8: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 64 128 255 509 1016 2028 4048 8080 16128 32192 64256 128257 256005
n-Золотое число это число φn, делящее единицу на n гармонических частей так, что большая часть, равная φn, относится к единице-целому как следующая к предыдущей, откуда следует
φn + φn2 +...+ φnn = 2φn - φnn+1 = 1.
Нетрудно показать, что φn = Limk φn,k, где
φn,k = Fn,k / Fn,k+1 = (1/2) (Fn,k+1 + Fn,k-n) / Fn,k+1 =
= (1/2) [1 + (An + Qn,k / Fn,k-n)-1] = (1/2) [1 + (An + rn,k)-1],
где 0 <= Qn,k < Fn,k-n и дробь rn,k = Qn,k / Fn,k-n с ростом n монотонно растет от 0 до 1 в пределе.
Обозначив rn = Limk rn,k = φn-(n+1) - An < 1, получаем φn = [1 + (An + rn)-1] / 2.
При n < 4 имеются точные формулы φ1 = 1, φ2 = [51/2-1] / 2, φ3 = [(2971/2+17)1/3 - (2971/2-17)1/3-1] / 3.
При n > 3 точные формулы громоздские и из них не видно как φn зависит от n.
Но ряд φ1,φ2,φ3,..,φn,... закономерно монотонно убывает от 1 до 1/2.
αn,1 < φn = αn,2 - pn (αn,2 - αn,1) < αn,2
где αn,1 = (An+2) / (2(An+1)), αn,2 = (An+1) / (2An),
rn = 1 / (2φn-1) - An = (Anpn) / (An+1-pn) - An
pn = (An+1) (An+1 - 2Anφn)
n An φn pn rn прирост 1 1 1,00000 0 0 0,236 = 51/2-2 2 4 0,61803 0,278800 0,23607 0,208 3 11 0,54370 0,463200 0,44452 0,161 4 26 0,51879 0,604840 0,61097 0,127 5 57 0,50866 0,740080 0,73684 0,083 6 120 0,504138 0,832480 0,83132 0,073 7 247 0,502017 0,893296 0,89291 0,061 8 502 0,5009942 0,917067 0,91692