Еще раз об ординалах и потенциалах

Пусть 0 = { }  и 1= {0}.

Рекурсивное порождение ординалов:
r(0) = 0,  r(n+1) = r(n)+{r(n)} = {r(0),r(1),...,r(n)}  и W = {r(n): n=0,1,...} = {r(0),r(1),...,r(n),...}.

Если S - множество, то

рекурсивное горизонтальное порождение потенциалов:
p({x}) = 1+{{x}} и p(S+{x}) = p(S)*p({x}) = p(S)+p(S)*{{x}},  т.е. p(S) = *(p({x}): x из S).
В частности p(0) = r(1) =1,  p(1) = r(2) = 1+{1} = {0,1},
p(r(n+1)) = p(r(n)+{r(n)}) = p(r(n))*p({r(n)}) = p(r(n))+p(r(n))*{{r(n)}} = p({r(0)})*p({r(1)})*...*p({r(n)}) и
p(W) = p({r(0)})*p({r(1)})*...*p({r(n)})*...

рекурсивное вертикальное порождение потенциалов:
p⁰(S) = S, p¹(S) = p(S)  и p^1+k(S) = p(p^k(S)).
В частности
p²(S+{x}) = p(p(S+{x})) = p(p(S)+p(S)*{{x}}) = p(p(S)) + p(p(S)) * {p(S)*{{x}}} =
= p²(S) + {{{x}}*p(S)}*p²(S);
p³(S+{x}) = p(p²(S+{x})) = p(p²(S)+p²(S)*{{{x}}*p(S)}) =
= p(p²(S)) + p(p²(S)) * {{{{x}}*p(S)}*p²(S)} =
= p³(S) + {{{{x}}*p(S)}*p²(S)}*p³(S);
...
p^k(S+{x}) = p(p^k-1(S+{x})) = p^k(S) + {...{{ {{x}}*p(S)}*p²(S)}*...p^k-1(S)}*p^k(S);
...
p^w(S+{x}) = p^w(S) + {...{ {{x}}*p(S)}*p²(S)}*...}*p^w(S).

p^w({x}) = p^w(0+{x}) = p^w(0) + {...{ {{x}}*p(0)}*p²(0)}*...}*p^w(0).


U(S) = p^w(S) - универсум над S:
U(S) = p^w(S) = p(p^w(S)) = *(p({A}): A из p^w(S) )