az118 (az118) wrote,
az118
az118

Бинарные индикаторы и теорема Белла

Пусть S - конечное множество и A1,...,An - семейство его подмножеств.

Обозначим через -Ak дополнение подмножества Ak : -Ak + Ak = S.

Ясно, что каждый элемент множества S обладает свойствами P1,...,Pn,
где Pk - бинарный индикатор - имеет только два значения:
1, если элемент принадлежит подмножеству Ak; и 0 в противном случае.

Значение Pk можно записать как bPk, где b принимает значение "+" при Pk = 1 и "-" при Pk = 0.

Будем писать -Pk в случае инверсии значения: --Pk = Pk и -+Pk = -Pk

Каждому набору X = {bPk_1,...,bPk_m} соответствует подмножество

(1): S(X) = S(bPk_1,...,bPk_m) элементов множества S.

Инверсию набора X определим как -X = {-bPk_1,...,-bPk_m}.

Понятно, что

(2) S(+Pk) = Ak, S(-Pk) = -Ak, S(+Pk) + S(-Pk) = S,
(3) S(X) = S(bPk_1) * ,..., * S(bPk_m), где  " * " - пересечение.
(4) S(-X) <= -S(X),   S(X) + S(-X) <= S.

При X = {+Pk_1,...,+Pk_m} имеем S(X) = Ak_1 * ,..., * Ak_m

Стало быть, из (3) => (5);  S(X+Y) = S(X) * S(Y).

Тогда из (4,5) => (6): S(X+Y) + S(X+-Y) = S(X) * S(Y) + S(X) * S(-Y) = S(X) * ( S(Y) + S(-Y) ) <= S(X) ,
причем из (2) => равенство выполняется только для элементарного Y = {bPk}.

Для попарно  непересекающихся наборов X, Y, Z имеем

Стало быть, S(X+Y) <= S(X+Z) + S(Y+-Z).

Набор Z играет роль транзитного моста от X к Y,
сужающего начальную область определения, представленную
суммой двух областей, до области суммы, что свидетельствует
о наличии корреляции между наборами X и Y.

Это и есть обобщенная теорема Белла.


p.s.
Очевидно, что существование транзитного моста зависит от структуры
семейства P1,...,Pn, а также от степени произвольности его выбора,
детерминированных природой элементов множества S, и при этом не
зависеть от самого множества. При наличии корреляции может возникнуть
индетерминизм как следствие невозможности полного разделения
S(+Pk) и S(-Pk) в случае полной определенности некоторых S(bPk),
т.е. будут наблюдаться квантово-механические эффекты даже для
одноэлементного множества S.

pps
равенство S(X) = S(X+Y) + S(X+-Y) выполняется только при Y = {bPk}
оно становится неравенством S(X) <= S(X+Y) +b S(X+-Y). Но тогда
в неравенстве Белла все наборы - X, V, W - элементарны
Tags: квантовая механика, математика
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 56 comments