az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

Линейные операторы на плоскости

Любой линейный оператор на плоскости является линейной комбинацией
четырех базисных операторов, имеющих следующие матричные представления
в подходящем базисе:

тождественного   x-отражения   поворота-на-90   xy-отражения

  E = |1 0|      R = |-1 0|      I = | 0 1|      K = |0 1|
      |0 1|          | 0 1|          |-1 0|          |1 0|


AE=EA=A, E=R2=-I2=K2=E2, R=KI=-IK, I=KR=-RK, K=IR=-RI.

Операторы R и K - образующие операторной группы плоскости

GL(2) = < K,R | K2=R2=(KR)4=E > порядка 8.

Оператор поворота с растяжением - линейная комбинация E и I.

Оператор отражения отн.некоторой прямой, проходящей через 0,
с растяжением - линейная комбинация R и K.

Операторы E, R и K соответствуют пространству, Оператор I - времени.

Если b - нормированный вектор, то (b,Ib) - ортонормированный базис.
и v = v1b+v2Ib = (v1E+v2I)b - поворот вектора b.

Алгебра поворотов на плоскости изоморфна алгебре комплексных чисел
и, стало быть, алгебре 2-векторов, т.е. самой плоскости.

2n-линейное действительное пространство, представимое как прямое
произведение n плоскостей, изоморфно n-линейному комплексному
пространству.


Кет и бра

кет-вектор |b> - просто вектор-столбец b,
бра-вектор <b| - вектор-строка b* и
A|b> = Ab, <b|A* = b*A* = (Ab)*, <a|b> = a*b, <a|A|b> = (A*a)*b = a*Ab.
Tags: алгебра, группы, квантовая механика, кет и бра, математика, операторы
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments