az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

О мощности вполне упорядоченного множества


Всякое вполне упорядоченное множество конечно или счетно.

Определим:
цепь
- синоним вполне упорядоченного множества;
ряд - конечная или изоморфная натуральному ряду цепь;
подцепь - непустое подмножество элементов цепи;
начальный элемент - элемент, не имеющий предыдущего.
подцепь начал цепи - подцепь ее начальных элементов.

Очевидно, что:

0. Все подцепи цепи имеют первый элемент по определению.

1. Цепь, каждый элемент которой, кроме первого, имеет предыдущий,
является рядом
и имеет только один начальный элемент - первый.

2. Мощность подцепи начал цепи не больше мощности цепи.
В частности, цепь ординала wnp+q имеет подцепь начал конечного
ординала p+1 при n=1 и счетного ординала wn-1p+1 при n > 1.
Подцепь начал конечной цепи имеет ординал и мощность 1.

3. Любой элемент цепи, кроме последнего, если он есть, имеет
следующий за ним элемент и между ними нет других элементов
.
В самом деле, пусть элемент x цепи A не последний и за ним нет
следующего элемента. Тогда между x и любым y>x есть другой
элемент и подцепь B = {yA: x<y} не имеет первого элемента
и, стало быть, A - не цепь.

4. Всякая цепь является суммой конечного или счетного числа рядов.
Действительно, цепь либо конечна, либо бесконечна. В последнем случае
она либо имеет начальные элементы, отличные от первого, либо не имеет.
Если нет: цепь - бесконечный ряд. Если да: пусть x и y - начальные элементы такие,
что x<y и между ними нет начальных элементов, поскольку y больше следующего 
за x элемента. Тогда полуинтервал [ x,y) - бесконечный ряд и x - элемент,
предыдущий y в подцепи начал.

Стало быть, у каждого не первого начального элемента есть предыдущий начальный
элемент и подцепь начал - конечный или бесконечный ряд, т.е. конечна или
счетна, а сама исходная цепь - сумма конечного или счетного числа
конечных  или счетных рядов
, первые элементы которых суть
ее начальные элементы,  и сама счетна.


Следствие:
несчетное множество не может быть цепью и неверна теорема либо Цермело,
либо Кантора, т.е., либо несчетные множества невозможно вполне упорядочить,
либо
несчетных множеств вообще не существует.


Дополнение

0. Все подцепи цепи имеют первый элемент по определению.
1. Каждый элемент кроме последнего имеет следующий элемент.
2. Каждый элемент кроме последнего является предыдущим некоторого ее элемента.
3. Не все элементы являются следующими других элементов.
4. Не все элементы имеют предыдущий элемент.
Tags: вполне упорядоченность, математика, теорема Кантора, теорема Цермело
Subscribe

  • и о Любви. Истоки куртуазной культуры Высокого средневековьья

    и русского символизма Вл-ра Соловьева и Ал-ра Блока. Юсуф и Зулейха Кочующий сюжет, литературно-фольклорный мотив многих литературных памятников…

  • о грамотности

    к этому Интересно. Важнейшей своей задачей российские посконные коммунисты считали ликвидацию безграмотности. А этим как бы норм. тогда был…

  • О плоской земле и инновациях

    к этому проблема в том, что 1) в "Ветхом завете" земля плоская, вокруг воды земные, а над нею небесная твердь с водами небесными и…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments