Линейный порядок - 2

Дискретное и непрерывное

Цепь A дискретна, если S_A=A.

В дискретной цепи нет щелей и открытых элементов. Всякий элемент дискретной цепи выделен и является точкой скачка. Полная цепь конечна, ограничена и дискретна. Любая ограниченная дискретная цепь полна и конечна. Любая конечная цепь ограничена и является полной дискретной цепью. Все непустые интервалы в дискретной цепи ограничены. Всякая полная цепь есть объединение своих подцепей. Цепь, полная только снизу, бесконечна сверху  и либо дискретна, либо полудискретна снизу, если есть верхние  скачки. Аналогично для цепи, полной только сверху. Если дискретная или полудискретная цепь A не имеет верхней грани, то башня W(A)={-A_x: xÎA} также ее не имеет. Тогда не существует максимального нижнего сегмента и, следовательно, объединения всех нижних сегментов. А это означает, что цепь A не является таким объединением. Более того, она не является объединением всех своих элементов, и потому не состоит из них.

Цепь A непрерывна, если S_A=S^D_A=S^U_A=Q_A={ }, т.е. если она непрерывна в каждой точке: для любых x,y A, x<y, существует zÎA, x<z<y. Не существует цепей, непрерывных в каждой свой точке только снизу (сверху). Действительно, если  цепь непрерывна только снизу в точке x, то верхний сегмент A_x ограничен снизу и, следовательно, в точке min(A_x) цепь непрерывной снизу уже не будет.

Нить – непрерывная цепь.

В нити нет скачков и, стало быть, отделенных элементов и пустых интервалов. Любая нить не полна ни снизу, ни сверху, поскольку непустые интервалы открыты.

Открыты и все элементы нити.

Для открытой снизу (сверху) нити не существует пересечения (объединения) всех ее подцепей, поскольку такое пересечение (объединение) было бы ее нижней (верхней) гранью.

Бесконечные цепи не состоят из своих элементов. Но так как любое множество можно линейно упорядочить, то бесконечные множества также не состоят из своих элементов.