az118 (az118) wrote,
az118
az118

Линейный порядок - 3

Гомоморфизмы и ординалы

Гомоморфизмы

Гомоморфизм цепи A на цепь B   отображение A на B, сохраняющее порядок.

Если f   гомоморфизм, то для любых x,yÎA из x<y следует f(x) £f(y).

Изоморфизм цепей  биективный гомоморфизм.

Если f    изоморфизм, то для любых x,yÎA из x<y следует f(x)<f(y).

Эндоморфизм цепи  гомоморфизм цепи в себя.

Автоморфизм цепи  биективный эндоморфизм, изоморфизм на себя.

 

Если f    автоморфизм полной снизу цепи A, то x£f(x)  для любого x A.

В самом деле, пусть B={x: xÎA и f(x)<x}  подцепь цепи A, ограниченная снизу в силу полноты снизу, b=min(B) и a=f(b)<b. Тогда по определению автоморфизма f(a)< f(b)=a<b  и, следовательно, f(a)< a<b, aÎB, а это противоречит b=min(B).

Если цепь полная сверху, то f(x) £x.

 

Цепи A и B изоморфны друг другу, если, и только если существует изоморфизм цепи A на цепь B. Любая цепь A изоморфна башне W (A) над A.

 

Полная снизу (сверху) цепь не изоморфна никакому своему нижнему сегменту: если f    изоморфизм полной снизу цепи A на произвольный нижний сегмент -Ax точки x и f(x)Î-Ax, то f(x)<x,  что противоречит свойству x£f(x). Следовательно, в полной снизу цепи нет изоморфных друг другу различных нижних сегментов, и,  существует единственный автоморфизм такой цепи - тождественный.

Инверсия цепи – изменение порядка элементов цепи на противоположный. Если A – цепь, то A* – цепь, инвертированная относительно A: для любых x,yÎA из x<y в A следует x,yÎA* и y<x в A*.

Суммы и ординальные типы

Сумма A+B  цепей A и B  – цепь, в которой A  является нижним, а B – верхним сегментами некоторого сечения цепи A+B . При этом цепи A и B  ординальные компоненты суммы и min(A+B)=min(A), max(A+B)=max(B). Сумма полных (снизу, сверху) цепей есть полная  (снизу, сверху) цепь. Сумма дискретных цепей A и B  есть дискретная цепь, если A ограничена сверху, а B  – снизу. В противном случае A+B есть полудискретная цепь. Сумма нитей A и B  есть нить, если A ограничена сверху, а B  – снизу. Если нить A открыта сверху или нить B  – снизу, то сумма имеет щель или скачок и не будет нитью. Таким образом. сумма цепей некоммутативна.

 

Ординальный тип   класс всех изоморфных друг другу цепей.

Ординальный метатип    класс ординальных типов.

Далее цепь (мета)типа t    цепь ординального (мета)типа t.

 

Метатипы:

v     Простые  – не представимы суммами других типов

Ø      Дискретные

§         Конечные – одноэлементная цепь (точка). Только один тип.

§         Открытые снизу. Только один тип.

§         Открытые сверху. Только один тип.

Ø      Непрерывные

§         Открытые нити. Только один тип.

v     Составные   суммы простых типов

Ø      Дискретные    конечные с длиной больше 1. Замкнутый метатип.

§         ограниченные (=полные) цепи. Бесконечное число типов.

Ø      Полудискретные    бесконечные.

§         Полные снизу. Только один тип.

§         Полные сверху. Только один тип.

§         Суммы конечных и простых цепей. Бесконечное число типов.

Ø      Непрерывные.

§         Открытые снизу нити. Только один тип.

§         Открытые сверху нити. Только один тип.

§         Ограниченные нити. Только один тип.

Ø      Полунепрерывные

§         Суммы нитей, конечных и простых цепей. Бесконечное число типов.

 

Простая цепь может быль суммой цепи того же типа и цепи некоторого другого типа, но никогда суммой цепей только других типов. Так, открытая нить есть сумма  открытой нити, точки и открытой нити. Но открытая снизу нить – сумма открытой нити и точки.

 

Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Капитал, Революция и революционеры в свете каннибализма

    Капитал, будучи отчужденной энергией человеческих желаний, отчуждает человека от его природы и становится верховным божеством, подчиняющим себе все…

  • капитализм и буржуазия

    капитализм - соц-полит-эк система полит господства верхушки буржуазии и экономического - товарно-промышленного производства, ориентированного на…

  • откуда взялся капитализм

    Надо обдумать чем культуры Западной Евразии, начиная с Вост. Средиземноморья, особенно Египта, и Месопотамии, отличались от культур Восточной Азии,…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 1 comment