Линейный порядок - 3
Гомоморфизмы и ординалы
Гомоморфизмы
Гомоморфизм цепи A на цепь B – отображение A на B, сохраняющее порядок.
Если f – гомоморфизм, то для любых x,yÎA из x<y следует f(x) £f(y).
Изоморфизм цепей – биективный гомоморфизм.
Если f – изоморфизм, то для любых x,yÎA из x<y следует f(x)<f(y).
Эндоморфизм цепи – гомоморфизм цепи в себя.
Автоморфизм цепи – биективный эндоморфизм, изоморфизм на себя.
Если f – автоморфизм полной снизу цепи A, то x£f(x) для любого x
В самом деле, пусть B={x: xÎA и f(x)<x} – подцепь цепи A, ограниченная снизу в силу полноты снизу, b=min(B) и a=f(b)<b. Тогда по определению автоморфизма f(a)< f(b)=a<b и, следовательно, f(a)< a<b, aÎB, а это противоречит b=min(B).
Если цепь полная сверху, то f(x) £x.
Цепи A и B изоморфны друг другу, если, и только если существует изоморфизм цепи A на цепь B. Любая цепь A изоморфна башне W (A) над A.
Полная снизу (сверху) цепь не изоморфна никакому своему нижнему сегменту: если f – изоморфизм полной снизу цепи A на произвольный нижний сегмент -Ax точки x и f(x)Î-Ax, то f(x)<x, что противоречит свойству x£f(x). Следовательно, в полной снизу цепи нет изоморфных друг другу различных нижних сегментов, и, существует единственный автоморфизм такой цепи - тождественный.
Инверсия цепи – изменение порядка элементов цепи на противоположный. Если A – цепь, то A* – цепь, инвертированная относительно A: для любых x,yÎA из x<y в A следует x,yÎA* и y<x в A*.
Суммы и ординальные типы
Сумма A+B цепей A и B – цепь, в которой A является нижним, а B – верхним сегментами некоторого сечения цепи A+B . При этом цепи A и B – ординальные компоненты суммы и min(A+B)=min(A), max(A+B)=max(B). Сумма полных (снизу, сверху) цепей есть полная (снизу, сверху) цепь. Сумма дискретных цепей A и B есть дискретная цепь, если A ограничена сверху, а B – снизу. В противном случае A+B есть полудискретная цепь. Сумма нитей A и B есть нить, если A ограничена сверху, а B – снизу. Если нить A открыта сверху или нить B – снизу, то сумма имеет щель или скачок и не будет нитью. Таким образом. сумма цепей некоммутативна.
Ординальный тип – класс всех изоморфных друг другу цепей.
Ординальный метатип – класс ординальных типов.
Далее цепь (мета)типа t – цепь ординального (мета)типа t.
Метатипы:
v Простые – не представимы суммами других типов
Ø Дискретные
§ Конечные – одноэлементная цепь (точка). Только один тип.
§ Открытые снизу. Только один тип.
§ Открытые сверху. Только один тип.
Ø Непрерывные
§ Открытые нити. Только один тип.
v Составные – суммы простых типов
Ø Дискретные – конечные с длиной больше 1. Замкнутый метатип.
§ ограниченные (=полные) цепи. Бесконечное число типов.
Ø Полудискретные – бесконечные.
§ Полные снизу. Только один тип.
§ Полные сверху. Только один тип.
§ Суммы конечных и простых цепей. Бесконечное число типов.
Ø Непрерывные.
§ Открытые снизу нити. Только один тип.
§ Открытые сверху нити. Только один тип.
§ Ограниченные нити. Только один тип.
Ø Полунепрерывные
§ Суммы нитей, конечных и простых цепей. Бесконечное число типов.
Простая цепь может быль суммой цепи того же типа и цепи некоторого другого типа, но никогда суммой цепей только других типов. Так, открытая нить есть сумма открытой нити, точки и открытой нити. Но открытая снизу нить – сумма открытой нити и точки.