az118 (az118) wrote,
az118
az118

Линейный порядок - 5

Ординалы

Ординал   класс всех изоморфных друг другу полных снизу цепей.

Кардинал   класс всех эквивалентных друг другу множеств

Полный ординал    ординал полной цепи.

Далее цепь ординала x  – полная снизу цепь ординала x.

 

Первым элементом цепи ординала a будем называть ее нижнюю грань.

Первым элементом башни над любой ограниченной снизу цепью всегда будет 0.

Следующим элементом x+1 элемента x цепи ординала a назовем нижнюю грань min(Ax)  верхнего сегмента Ax элемента x. Очевидно, что каждый элемент, кроме возможной верхней грани, цепи ординала a имеет следующий.

Предыдущим элементом x-1 элемента x цепи ординала a назовем верхнюю грань max(-Ax)  нижнего сегмента -Ax элемента x. Не всегда каждый элемент, кроме первого, цепи ординала a имеет предыдущий, т.к. цепь может содержать точки верхних скачков, называемых предельными точками предшествующих им простых компонент.

 

Всякая ограниченная снизу цепь, в которой верхние сегменты любых элементов также ограничены снизу, есть цепь некоторого ординала a.

 

Ординал a  меньше ординала b, т.е. a<b, если, и только если цепь A ординала a изоморфна собственной подцепи B*  цепи B ординала b.  При этом подцепь B*ÌB  будет цепью ординала a. Каждому элементу x произвольной цепи A ординала a=a(A) соответствует ординал ax=a(-Ax) и из x<y следует -AxÌ-AyÌA, и, стало быть, ax<ay<a. Следовательно, множество -Wa={ax: xÎA}={ax: ax<a} – полная снизу цепь предшествующих ординалов, изоморфная цепи A и являющаяся нижним сегментом элемента a  цепи  -Wb ординала b. Т.к. все цепи ординала a изоморфны, то цепь  -Wa  не зависит от цепи A, но полностью определена самим ординалом a. Отождествляя ординал a с -Wa={x: x<a}, получаем a=-Wa,

a+1=-Wa+1=a+{a}. Ясно, что  a  совпадает со своей башней W (a) и для любого x из xÎa следует xÌa. Таким образом, ординал a  – универсальная цепь, представляющая собой чистое выражение общего свойства всех цепей класса a: a={x: x<a}=-(a+1)a=W (a), a+1=a+{a}.

 

Всякий ординал есть цепь из предшествующих ему ординалов, равен нижнему сегменту следующего ординала и совпадает с башней над собой. Полный ординал есть целое неотрицательное число, или ординал первого рода. Остальные ординалы – трансфиниты, или ординалы второго рода.

Цепь W является ординалом всех ординалов и W=-WW<W=W (W).

 

                              o

                            o─┤

                  o           |

        o     o o─┤      o o--┤

  o   o─┤   o─┴───┤    o─┴----┤

o─┴─────┴─────────┴─----──────┴─---

0 1     2         3         n …

 <0> <0<0>> <0<0><0<0>>> …

 

Существуют только один открытый начальный ординал – ноль 0={ }, только один простотой полный ординал – единица 1={0}, и только один простой трансфинит – натуральный ряд w, представляющий собой открытый сверху ординал всех полных ординалов. Каждый трансфинит полудискретен. Для любых полных ординалов n>0 и k>1 справедливо n<w=n+w=kw<w+k<wk<wk<ww:

 

Любые композиты и транспозиты полного ординала есть полные ординалы.

 

Термин «класс» имеет два значения:

  • Совокупность всех объектов с данным свойством, которая также дана.
  • Универсальный объект, представляющий данное свойство, который может быть не «дан» в классическом смысле, но является процессом собственного становления.
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments