az118 (az118) wrote,
az118
az118

Линейный порядок - 6

Башни и нити над множеством

Башни над конечными множествами

Для любого конечного множества A из n элементов существует n! полных цепей ординала n+1 из его подмножеств в порядке включения, нижней гранью которых является пустое множество, а верней гранью – само множество A. Такие цепи будем называть башнями над множеством A. Каждая башня над A после удаления пустого множества становится эквивалентной A и, следовательно, задает линейный порядок на A, которому соответствует автобиекция множества A на себя. Все башни над A изоморфны друг другу и являются максимальными полными цепями из подмножеств множества A.

 

Число qn+1 вхождений нуля в полный ординал n+1, включая субординалы всех уровней, равно числу всех подмножеств множества из n элементов: qn+1=2qn=2n. Так, при n+1=4=<0<0><0<0>><0<0><0<0>>>> имеем q4=8 и

2A={0 <0> <<0>> <0>+<<0>>=<0<0>> <<0<0>>> <0>+<<0>>=<0>+<<0<0>>> <<0>>+<<0<0>>> <0>+<<0>>+<<0<0>>>}.

Нити над бесконечными множествами

Пусть A=A1бесконечное множество и A0 пустое или бесконечное собственное подмножество множества A1, эквивалентное своему дополнению -A0:

A0 ~ -A0 ~ A, A0ÌA1.

B01Ì-A0A1, B01 ~ -B01, A01=A0ÈB01, A0ÌA01ÌA1.

B001Ì-A0A01, B001 ~ -B001, A001=A0ÈB001, A0ÌA001ÌA01ÌA1.

B011Ì-A01A1, B011 ~ -B011, A011=A01ÈB011, A0ÌA001ÌA01ÌA011ÌA1.

В общем, при AnÌAn+1 Bn1Ì-AnAn+1, Bn1 ~ -Bn1, An1=AnÈBn1.

Неограниченно продолжая этот процесс, получим семейство P  подмножеств множества A, линейно упорядоченное относительно включения: A0ÌÌA01ÌÌA1. Ясно, что P  является ограниченной нитью над A. Все элементы семейства P, быть может кроме A0={ },  эквивалентны друг другу.

Отбросив нижнюю A0 и верхнюю A1 грани нити P, получим неограниченную нить.  Для неограниченной нити над A не существует пересечения и объединения всех ее элементов, поскольку такие пересечение и объединение были бы ее нижней и верхней гранями.

 

Пусть P1 и P2 две ограниченные нити над A такие, что их нижние сегменты сечения по некоторому элементу B  совпадают, а верхние – нет:

-(P1)B=-(P2)B и (P1)B (P2)B. Множество P=P1ÈP2 уже не будет цепью. Удалив из P  грани A0 и A1,

Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments