az118 (az118) wrote,
az118
az118

Золотая спираль

Нас спрашивали о золотой спирали.

Отвечаем:

общее уравнение спирали на плоскости:

x(t) = r(t) sin t,
y(t) = r(t) cos t,


где r(t) -  радиус спирали.

дабы спираль была золотой, ее радиус должен быть также золотым,
т.е. после каждой четверти оборота увеличиваться на φ r(t),
где φ = 0.6180... - золотое число:

r(t+π/2) = r(t) + φ r(t) = (1+φ)r(t) = α r(t), где α = 1+φ.

или при полном обороте r(t+2π) = α4 r(t) .

Тогда r(t+2πk) = α4k r(t) или

r(t) = r(0) α4 t / (2п) .

если золотое приращение происходит при полном обороте, то

r(t) = r(0) αt / (2п)


Очевидно, что при постоянной угловой скорости
спираль будет свертываться к нулю вечно, поскольку
число витков будет бесконечным. Действительно,
радиус растет экспоненциально, r(t) = r(0) ect , и
обращается в 0 при t = -∞.
Tags: Золотая спираль, золотистая шерстка, математика
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments