az118 (az118) wrote,
az118
az118

Уравнение касательной к кривой на плоскости

y(x)  - уравнение кривой.

y0 = y(x0- точка касания.

y'0 = dy/dx|x=x0 - значение производной в точке касания.

b + y'0 x - уравнение касательной с неизвестным параметром b.

b + y'0 x0 = y0 - в точке касания касательная касается кривой.

следовательно,  b = y0 - y'0 x0 и

y0 + y'0(x-x0) - окончательное уравнение касательной.

y0 - (1/y'0)(x-x0) - уравнение нормали к касательной.

____________________

Пример.
логарифмическая спираль


r(t) = ceb t
x(t) = r(t) cos t
y(t) =
r(t) sin t.

r(t)2= x(t)2+ y(t)2

dr/dt = b r(t)
dx/dt = dr/dt cos t - r(t) sin t = r(t) (b cos t - sin t) = bx-y
dy/dt = dr/dt sin t + r(t) cos t = r(t) (b sin t + cos t) = by+x

y'x = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (by+x)/(bx-y)

Положим
g = ebп/2,   rk = gkr0 , tk = t0 + k π/2, где  k = 0,1,2,3,
и rk = r(tk)xk = x(tk), yk = y(tk) - четыре точки касания
для четырех касательных с тангенсами углов
наклона y'k = (byk+xk)/(bxk-yk).

Тогда
x0r0 cos t0                           y0 r0 sin t0
x1 = -g r0 sin t0 = -g y0                y1 =   g r0 cos t0 =  g x0
x2 = -g2r0 cos t0 = -g2x0          y2 = -g2r0 sin t0 = -g2y0
x3 =   g3r0 sin t0g3y0               y3 = -g3r0 cos t0 = -g3x0
g2kr02= xk2+ yk2

и
y'0 = (by0+x0)/(bx0-y0)
y'1 = (bgx0-gy0)/(-bgy0-gx0) = - (bx0-y0)/(by0+x0) = -1/y'0 .
Также y'2 = -1/y'1 = y'0y'3 = -1/y'2 = y'1y'0 = -1/y'3 = y'2.

Стало быть, любая пара соседних касательных
находится под прямым углом друг к другу.

Получаем прямоугольник, описывающий раковину спирали.

Каково отношение его сторон?

Найдем три точки пересечения - p0,q0 касательных 0 и 1; p1,q1 для 1 и 2;
p2,q2 для 2 и 3, - затем отношение расстояния L1 между точками 0 и 1 к
расстояния L2 между точками 1 и 2:

q0 = y0 + y'0(p0-x0) = y1 + y'1(p0-x1)
q1 = y1 + y'1(p1-x1) = y2 + y'2(p1-x2)
q2 = y2 + y'2(p2-x2) = y3 + y'3(p2-x3)
при y'0 = -1/y'1 = y'2 = -1/y'3

пока еще не Фибоначчи,
но мы будем приближаться
и поймаем золотую рыбку-птичку...
и съедим!
.
Tags: Уравнение касательной к кривой, золотая спираль
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments