az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

Обобщение золотого сечения

Принцип классического золотого сечения:

Большая часть относится к целому как меньшая к большей

Естественно целое полагать 1, а большую часть обозначить φ.

Тогда меньшая часть равна 1-φ и  золотой принцип примет вид

φ = (1-φ)/φ

откуда

φ + φ2 = 1

и φ = (√5 - 1)/2 = 0.6180... - предел отношения соседних членов ряда Фибоначчи:

F1 = 0, F2 = 1,  Fk+1 = Fk + Fk-1

и  φ = lim Fk / Fk+1,  причем, по индукции

F
k =
φFk+1 + (-φ) k = Fk-1 / φ + (-φ) k-2 =

= [φ2 + (-φ2) k] / [(φ2+1)φ k]

Как легко видеть,

φ k Fk + φ k-1 Fk+1 = 1

где φ k Fk = [φ2 + (-φ2) k] / (φ2+1) стремится к

φ2 / (φ2+1) = 0,27639320...


Если частей больше двух, то получаем

Принцип обобщенного золотого сечения:

Наибольшая часть относится к целому как следующая за наибольшей к наибольшей,
и, в общем, как следующая к предыдущей в порядке убывания величин частей.


Попрежнему целое будем полагать 1, а наибольшую часть обозначим φm,
где  m - число частей.

Тогда обобщенный золотой принцип примет вид

φm = φm2/φm = φm3/φm2 =...= (1 - φm - φm2 -...- φmm-1)/φmm-1

откуда

φm + φm2 +...+ φmm= 1

или

φmm+1 -2φm +1 = 0

φ1 = 1,  φ2 ≈ 0.618...,  φ3 ≈ 0.543...,  φ4 ≈ 0.519... и  т.д.

В пределе с ростом числа частей φm стремится к 1/2, являясь
пределом отношения соседних членов обобщенного ряда Фибоначчи:

F (m)1 =...= F (m)m-1 = 0, F (m)m = 1,  F (m)k+1 = F (m)k + F (m)k-1 +...+ F (m)k-m+1

и φm = lim F (m)k / F (m)k+1

Нетрудно показать что

i=0...m-1 φmk-i j=0...i F (m)k-j = 1

Части целого часто являются вертикальными уровнями иерархии бытия.


Приложение
Метод Ньютона


Корень уравнения f(x) = 0, где f(x) - монотонная функция,
легко найти методом касательных:

x' = x - f(x) / f'(x)

При  f(x) = x n+1- 2x +1 = 0

f'(x) = (n+1)x n- 2

и

x' = (nx n+1-1) / ((n+1)x n-2)

при начальном  x = 1/2 за 6-7 итераций достигается
точность 6 знаков после запятой.
Tags: золотая спираль, математика, ряд Фибоначчи
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments