Число k-мерных узлов (вершин, ребер, граней ...) в n-мерном кубе:
qn,k = (kn) 2n-k; k=0,...,n
Число 0-мерных узлов (вершин) в n-мерном кубе: qn,0 = 2n:
Каждая вершина факторизует множество всех измерений на два класса:
- пассивные;
- активные.
Вершины определяют двузначную логику.
Общее число узлов в n-мерном кубе: qn = qn,0 +qn,1 + qn,2 +... + qn,n = 3n
Каждый узел факторизует множество всех измерений на три класса:
- пассивные;
- активные неориентированные (или ориентированные влево/вниз);
- активные ориентированные (или ориентированные вправо/вверх).
n\k 0 1 2 3 4 5
0 1 . . . . .
1 2 1 . . . .
2 4 4 1 . . .
3 8 12 6 1 . .
4 16 32 24 8 1 .
5 32 80 80 40 10 1
n=2 q2=32=9
m 1 2 r
0 0 0 нет выделенных измерений
1 0 1 выделено измерение 2 без ориентации
2 0 2 выделено измерение 2 с ориентацией
3 1 0 выделено измерение 1 без ориентации
4 1 1 выделены измерения 1,2 без ориентации
5 1 2 выделены измерения 1 без ориентации и 2 с ориентацией
6 2 0 выделено измерение 1 с ориентацией
7 2 1 выделены измерения 1 с ориентацией и 2 без ориентации
8 2 2 выделены измерения 1,2 с ориентацией
1──────────────────────────▲───\─────────▲──────▲
┌──┐─┌──┐─├──┐─┌──┼─►┌──┐►╟──┐►╒══╪►┌──╫─►╒══╬►
│ │─│ │─│ │─│ │─►│ │►║ │►│ │►│ ║─►│ ║
└──┘─└──┴─└──┘─└──┘─►╘══╧►╙──┘►└──┘►└──╜─►└──╜ 2
00 01 10 11 02 20 12 21 22
Таким образом, гиперкуб фундирует дву- или трехзначную логику.
И четырехзначной - не бывать...
Объем n-мерного куба со длиной стороны l:
Vn,,l = (l+1)n
Площадь k-ого слоя в n-мерном кубе
Sn,k = (1n) Vn,-1,k - (2n) Vn,-2,,k + …+ (-1)n-1 (nn) V0, k
= n (k+1)n-1 - (2n) (k+1)n-2 + …+ (-1)n-1
S3,k = 3 V2,k - 3 V1,,k +V0, k = 3(k+1)2 - 3(k+1) +1 = 3(k+1)k +1
S4,k = 4 V3,k - 6 V2,,k +4 V1,,k -V0, k = 4(k+1)3 - 6(k+1)2 +4(k+1) -1 = 2(k+1)[2(k+1)2-3(k+1)+2] -1
= 2(k+1)[2k2-k+1] -1