Срединная линия линий f1(x) и f2(x) - линия y = f(x), состоящая из точек, равноудаленных от f1(x) и f2(x).
Обозначив
p1 = df1/dx , q1 = √ (1+p12) ,
p2 = df2/dx , q2 = √ (1+p22) ,
получаем
y = y1 + (1/ p1) (x1-x) - нормаль к линии y = f1(x) в точке (x1,y1)
y = y2 + (1/ p2) (x2-x) - нормаль к линии y = f2(x) в точке (x2,y2)
(x-x1)2 + (y-y1)2 = (x-x2)2 + (y-y2)2 - равноудаленность точки (x,y) от точек (x1,y1) и (x2,y2)
откуда
x = x1 + p1(y1-y),
x = x2 + p2(y2-y),
y = f(x) = (q1y1+ q2y2) / (q1+ q2)
примеры:
1. прямая и прямая
f1(x) = a1 + b1x - прямая 1
f2(x) = a2 + b2x - прямая 2
y = f(x) = a + b x - срединная линия - прямая.
a = (a1q2 + a2q1) / (q1 + q2)
b = (b1q2 + b2q1) / (q1 + q2)
q1 = √ (1+b12) , q2 = √ (1+b22) .
при b1 = b2 = b получаем y = (a1+a2) / 2 + b x
2. окружность и горизонтальная прямая
f1(x) = R ± √ (R2-x2) - окружность
f2(x) = c - горизонтальная прямая
y = f(x) = c / 2 + x2 / (4R - 2c) - срединная линия - парабола.
при c = R получаем y = R / 2 + x2/ (2R)
при c = 0 имеем y = x2 / (4R)
3. окружность и окружность
f1(x) = с1 ± √ (R12-x2) - окружность радиуса R1 с центром (0,c1)
f2(x) = с2 ± √ (R22-x2) - окружность радиуса R2 с центром (0,c2)
y = f(x) = с ± √ (R2-x2) - срединная линия - окружность радиуса R с центром (0,c).
R = (R1 + R2) / 2
c = (c1 + c2) / 2