Ординал ω содержит все конечные ординалы вида 0 и p+1={0,1,...,p}. Ординал ω 2 содержит все ординалы вида ω ∙ p+q, p,q=0,1,2... . ω ∙ p+q не пара натур.чисел, но биективная функция от пары. Отсюда биекция ω 2 на декартов квадрат множества ω. В общем, ω k содержит все ординалы вида ω k-1 ∙ p k-1 +...+ ω ∙ p 1 + p 0 и, являясь функцией от p 0 ,...,p k-1 =0,1,2,..., биецируется на декартову k-ю степень множества ω. Причем, k - предельная мощность последовательности ненулевых p 0 ,...,p k-1 и одной из последовательностей будет {0,1,...,k-1} = k. Но тогда ординал ω ω , будучи пределом ряда ω k , содержит все "линейные" комбинации меньших ординалов с предельной мощностью последовательностей ненулевых p 0 ,...,p k ,..., равной ω, и одна из последовательностей в точности совпадет с ω. Данное обстоятельство обусловлено квантором все , входящем в определение ординала ω как ординала всех конечных ординалов, который бесконечен . 0 0 0 0 0 0─┤ 0 0 0 0─┤ 0 0 0─┤ 0 0─┤ 0─┴───┤ 0 0 0─┤ 0 0─┤ 0─┴───┤ 0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤ 0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤ 0─┴───┴───────┴───────────────┤ 0─┴───┴───────┴───────────────┴───────────────────────────────┴─► 0 1 2 3 4 5 ω графическое представление начала ряда ординалов ω с 0 по 5-й. Легко видеть, конечный ординал k > 0 представляет собой двоичное дерево с 2 k-1 листьев - терминальных субэлементов, каковыми является ординал 0. Ординал ω, будучи пределом конечных ординалов, является бесконечным двоичным деревом, мощность множества листьев которого равна 2 ω . Каждый из путей от корня дерева до одного из его листьев определяет соответствующее ему подмножество ординала k-1 для конечного ординала k или ординала ω для ординала ω. Структурно ординал ω изоморфен дереву Пифагора: