az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

о степенях ординала omega - ω

Ординал ω содержит все конечные ординалы вида 0 и p+1={0,1,...,p}.

Ординал ω2 содержит все ординалы вида ωp+q, p,q=0,1,2... .
ωp+q не пара натур.чисел, но биективная функция от пары.
Отсюда биекция ω2 на декартов квадрат множества ω.

В общем, ωk содержит все ординалы вида ωk-1pk-1 +...+ ωp1 + p0 и,
являясь функцией от p0,...,pk-1=0,1,2,..., биецируется на декартову
k-ю степень множества ω. Причем, k - предельная мощность
последовательности ненулевых p0,...,pk-1 и одной из
последовательностей будет {0,1,...,k-1} = k.

Но тогда ординал ωω, будучи пределом ряда ωk, содержит
все "линейные" комбинации меньших ординалов с предельной
мощностью последовательностей ненулевых p0,...,pk,..., равной ω,
и одна из последовательностей в точности совпадет с ω.

Данное обстоятельство обусловлено квантором все, входящем в
определение ординала ω как ординала всех конечных ординалов,
который бесконечен.


                                                              0
                              0               0       0   0 0─┤
              0       0   0 0─┤       0   0 0─┤   0 0─┤ 0─┴───┤
      0   0 0─┤   0 0─┤ 0─┴───┤   0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤
  0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤ 0─┴───┴───────┴───────────────┤
0─┴───┴───────┴───────────────┴───────────────────────────────┴─► 
0 1   2       3               4                               5   ω

графическое представление начала ряда ординалов ω с 0 по 5-й.     

Легко видеть, конечный ординал k > 0 представляет собой двоичное
дерево с 2k-1 листьев - терминальных субэлементов, каковыми является
ординал 0. Ординал ω, будучи пределом конечных ординалов, является
бесконечным двоичным деревом,  мощность множества листьев которого
равна 2ω. Каждый из путей от корня дерева до одного из его листьев
определяет соответствующее ему подмножество ординала k-1 для
конечного ординала k или ординала ω для ординала ω.

Структурно ординал ω изоморфен дереву Пифагора:



Tags: nur el ab, бесконечное, математика, музыка, натуральный ряд, ординалы
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 28 comments