В самом деле, пусть G - группа, S - произвольное множество ее элементов и [S] - подгруппа, порожденная S. Тогда
1. S < [S] - выпуклость;
2. [[S]]=[S] - идемпотентность;
3. из P < S следует [P ] < [S] - монотонность.
Таким образом, [...] - оператор слабого замыкания на G.
Если M - произвольный моноид и S < M, то моноидная операция индуцирует на M два различных топологических замыкания:
1. по входу - [S]={xy : x ÎM и y ÎS}.
множество S замкнуто по входу, если [S]=MS=S
2. по выходу - ]S[={yx : x ÎM и y ÎS}.
множество S замкнуто по выходу, если ]S[=SM=S
