az118 (az118) wrote,
az118
az118

Симметрическая группа: способ задания двумя образующими

Пусть G - группа с двумя образующими - b и c -
и соотношениями (c-(k-1)(cb)k-1)k = (cb)n-1 = 1, где k=2,...,n.

Обозначив  c1 = 1,   ck = c-(k-1)(cb)k-1,   cj,k = ckcj-1,  
b1,k = ckbck-1,  bj,k = c-(j-1) b1,k-j+1 j-1,   bk = bk-1,k
получаем  b1,2 = b = c2,   cn = c,   cj,k = c-(j-1) ck-j+1 c j-1,
bk = ck-1,k = c-(k-2) b ck-2,   ck = bck-1 = cj,kcj
и, стало быть,  bj,k2 = ckk = cj,kk-j+1 = 1,   
где  k=2,...,n,  j=1,...,k-1.

В частности: b1,k = cj,k b1,j cj,k-1,   bj,k = cj,k bj+1 cj,k-1,
bjbk = c-(j-2) b c j-2 c-(k-2) b ck-2 = c-(j-2) bbk-j+2 c j-2,
ck = c1,k,   ckb = c2,k = c-ck-1 c,   (ckb)k-1 = 1,
|bjbk| = |bbk-j+2|.


                      bk
  ┌───┐ ┌───┐ ┌ - ┐ ┌───┐
┌►┴───┴►┼───┴►┼ - ┴►┼───┴►┐ck
└───────┘     │     │     │
└─────────────┘     │     │
└────────────── - ──┘     │
└────────────── - ────────┘
              b1,k


Пусть также  dj,k = c-jbc j-k bck = dj,k-1 = c-kbck-jbc j = dk,j   для  j < k-1. 
Следовательно,   bjbk = dj-2,k-2 = dk-2,j-2 = bkb, что равнозначно
bbk = (bbk)-1 = bkb  для  k > 3.

Тогда группа  G  изоморфна симметрической группе Sn
.
Очевидно,  Sn = Sn-1 Zn = Z2 Z3 ... Zn
Tags: алгебра, группы, математика, операторы, перестановки
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments