Тогда aS={ax: x∈S }, PS={xy: x∈P, y∈S }, S-1={x-1: x∈S }.
Если SS=S=S-1, то S – подгруппа группы G, причем для конечного S достаточно условия SS=S.
Элемент b сопряжен с элементом cb=aba-1 посредством элемента a.
Элемент c=[a,b]=aba-1b-1=(ab)(ba)-1 называется коммутатором элементов a и b.
Коммутант G' группы G – подгруппа, порожденная всеми коммутаторами группы G..
Элемент b самосопряжен относительно элемента a, если, и только если, [a,b]=1.
Тогда b=aba-1, элемент a самосопряжен относительно элемента b и элементы a и b коммутируют.
Элемент b самосопряжен, если, и только если, он самосопряжен относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми ее элементами.
Множество S сопряжено с множеством PS=aSa-1 посредством элемента a.
Множество P=[a,S]=aSa-1S-1 называется коммутатором элемента a и множества S.
Множество S самосопряжено относительно элемента a, если, и только если, aSa-1=S.
Тогда множество S коммутирует с элементом a в целом.
Множество S самосопряжено, если, и только если, оно самосопряжено относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми элементами в целом.
Нормализатор NG(S) множества S – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S в целом: NG(S)={x∈G: xS=Sx }={x∈G: xSx-1=S }. Ясно, что NG(S) – подгруппа группы G. Множество S самосопряжено относительно своего нормализатора и любого его элемента. Нормализатор подгруппы содержит ее.
Подгруппа H самосопряжена (нормальна) в G, если, и только если, NG(H)=G, или, иначе, xHx-1=H для любого x∈G. Любая подгруппа самосопряжена в своем нормализаторе. xyH=xyHH=xHyH и H=HH=xHx-1H для любых x,y∈G.
Централизатор ZG(S) множества S – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S поэлементно: ZG(S)={x∈G: xy=yx, y∈S }. Ясно, что ZG(S) – подгруппа нормализатора NG(S). Каждый элемент множества S самосопряжен относительно своего централизатора и любого его элемента. Централизатор элемента a совпадает с его нормализатором: ZG(a)=NG(a). Нетрудно видеть, что ZG(S1⋂S2)=ZG(S1)⋂ZG(S2). В частности, если S={s1,s2,…,sn}, то ZG(S)=ZG(s1,s2,...,sn)=ZG(s1)⋂ZG(s2)⋂…⋂ZG(sn).
Центр Z(S) множества S – множество всех элементов множества S, коммутирующих с S поэлементно. Ясно, что Z(S)=S⋂ZG(S). Центр подгруппы H – нормальная подгруппа подгруппы H и ее централизатора.
Подгруппа H абелева в G, если, и только если, Z(H)=H.
Группа G абелева, если, и только если, каждый ее элемент самосопряжен относительно всех элементов группы: Z(G)=G.
В общем, если H – подгруппа, то
xHx-1 – подгруппа, сопряженная с H,
|H| = |xHx-1|, |b| = |xbx-1|, |bc| = |b(cb)b-1| = |cb|,
Z(H) ⊆ H ⊆ NG(H) ⊆ G,
Z(H) ⊆ ZG(H) ⊆ NG(H) ⊆ G,
|G| = (G:NG(H)) (NG(H):H) (H:Z(H)) |Z(H)| = (G:NG(H)) (NG(H):ZG(H)) (ZG(H):Z(H)) |Z(H)|.
Теорема Кели
Всякая группа G изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы SG.
В самом деле, выражение bx = y при фиксированном b представляет собой автобиекцию группы G. Но автобиекции множества суть элементы симметрической группы для этого множества. Стало быть, множество всех автобиекций группы G, порождаемых групповой композицией, равномощно множеству G и является подгруппой симметрической группы SG.
