az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

Теория групп: сопряжение и коммутация

Пусть G  – группа,  a,b,cG  и  P,S ⊆ G

Тогда  aS={ax: xS },  PS={xy: xP, yS },  S-1={x-1: xS }. 

Если SS=S=S-1, то S  подгруппа группы G, причем для конечного S  достаточно условия SS=S.


Элемент сопряжен с элементом  cb=aba-1 посредством элемента a.
Элемент c=[a,b]=aba-1b-1=(ab)(ba)-1  называется коммутатором элементов a и b.
Коммутант  G'  группы G  –  подгруппа, порожденная всеми коммутаторами группы G..

Элемент самосопряжен относительно элемента a, если, и только если, [a,b]=1. 
Тогда  b=aba-1, элемент a самосопряжен относительно элемента b и элементы a и b коммутируют.

Элемент самосопряжен, если, и только если, он самосопряжен относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми ее элементами.

Множество сопряжено с множеством  PS=aSa-1 посредством элемента a.
Множество P=[a,S]=aSa-1S-1 называется коммутатором элемента a и множества S.

Множество самосопряжено относительно элемента a, если, и только если, aSa-1=S.
Тогда  множество коммутирует с элементом a в целом.

Множество самосопряжено, если, и только если, оно самосопряжено относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми элементами в целом.


Нормализатор NG(S) множества S  – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S в целомNG(S)={xG: xS=Sx }={xG: xSx-1=S }. Ясно, что NG(S) подгруппа  группы G.  Множество S самосопряжено относительно своего нормализатора и любого его элемента.  Нормализатор подгруппы содержит ее.

Подгруппа H самосопряжена (нормальна) в G, если, и только если, NG(H)=G, или, иначе, xHx-1=H для любого xG. Любая подгруппа самосопряжена в своем нормализаторе. xyH=xyHH=xHyH  и H=HH=xHx-1H  для любых x,yG.


Централизатор ZG(S) множества S  – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S поэлементноZG(S)={xG: xy=yx, yS }. Ясно, что ZG(S) подгруппа нормализатора NG(S). Каждый элемент множества S самосопряжен относительно своего централизатора и любого его элемента.  Централизатор элемента a  совпадает с его нормализатором: ZG(a)=NG(a). Нетрудно видеть, что ZG(S1S2)=ZG(S1)ZG(S2). В частности, если S={s1,s2,…,sn}, то ZG(S)=ZG(s1,s2,...,sn)=ZG(s1)ZG(s2)ZG(sn).

Центр Z(S) множества S  – множество всех элементов множества S, коммутирующих с S поэлементно. Ясно, что Z(S)=SZG(S)Центр подгруппы H – нормальная подгруппа подгруппы H  и ее централизатора. 

Подгруппа H абелева в G, если, и только если, Z(H)=H.
Группа G абелева, если, и только если, каждый ее элемент самосопряжен относительно всех элементов группы: Z(G)=G.


В общем, если H – подгруппа, то 

xHx-1  –  подгруппа, сопряженная с H,
|H| = |xHx-1|,  |b| = |xbx-1|,  |bc| = |b(cb)b-1| = |cb|,  


Z(H⊆ H ⊆ NG(H⊆ G,
Z(H⊆ ZG(H⊆ NG(H⊆ G,  
|G(G:NG(H))  (NG(H):H)  (H:Z(H))  |Z(H)| (G:NG(H))  (NG(H):ZG(H))  (ZG(H):Z(H))  |Z(H)|.


Теорема Кели

Всякая группа изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы SG.

В самом деле, выражение  bx =  при фиксированном  представляет собой автобиекцию группы G. Но автобиекции множества суть элементы  симметрической группы для этого множества. Стало быть, множество всех автобиекций группы G, порождаемых групповой композицией, равномощно множеству G и является подгруппой симметрической группы SG.


Tags: алгебра, группы, математика, сопряжение и коммутация
Subscribe

  • SUUM CUIQUE

    ИноСМИ - Наука Расизм и дискриминация ошибочны в принципе, а не с научной точки зрения — с этого смелого заявления начинается статья о…

  • суть науки и психиатрия

    к этому психиатрическая практика не возможна без знания, поскольку психиатрия занимается исцелением психических заболеваний, а любая…

  • Foreign Affairs (США): возвращение геополитики

    ИноСМИ - Политика Автор в начале статьи, написанной и опубликованной в первый раз в 2014-м году, с невинной жестокостью излагает план…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 2 comments