Определим срединную сумму векторов x и y как |x|+|y| x⊕y = ──────── (x+y) . 2 |x+y| Очевидно, x⊕x=x и |x|+|y| |x⊕y| = ──────── . 2 Операция ⊕ коммутативна, но не ассоциативна. Хотя видимо трансассоциативна: (x⊕z)⊕(z⊕y) = (x⊕y)⊕z в частности, при z = x⊕y (x⊕(x⊕y))⊕((x⊕y)⊕y) = x⊕y Каково порождаемое операцией ⊕ множество в общем случае? Ясно, что оное множество лежит на плоскости с базисом из векторов x и y и можно без потери общности перейти к 2-мерному случаю. Для удобства положим вектор x как горизонтальный орт [c,0], а вектор y - [z, ±√( (βc) 2 -z 2 ) ] так, что |x|=с и |y|=β|x|=βс, где z варьируется. Тогда x+y=[c+z, ±√( (βc) 2 -z 2 ) ], |x|+|y|=(1+β)c и |x+y|= √((c+z) 2 +(βc) 2 -z 2 ) = c√(1+β 2 +2z/c). таким образом 1+β x⊕y = ────────────── [c+z, ±√((βc) 2 -z 2 )] . 2√(1+β 2 +2z/c) При β=1 имеем c x⊕y = ─── [√(1+z/c), ±√(1-z/c)] . √2 При |x|=|y| получаем |x⊕y|=|x|=|y| и, стало быть, множество всех векторов, порождаемых операцией ⊕ из начальных векторов x и y, является подмножеством точек дуги окружности с концами x и y. В частности при y=-x, |x⊕y| дает два вектора, ортогональных векторам x и y, а порождаемое множество образует окружность. Если y=βx, где β - действительное число, то |y|=|β||x|, x+y=(1+β)x, |x|+|y|=(1+|β|)|x|, |x+y|=(1+β)|x| и, сл-но, 1+|β| x⊕βx = ────── x . 2 т.е. порождаемое множество - отрезок прямой с концами x и βx.