Определим срединную сумму векторов x и y как
|x|+|y|
x⊕y = ──────── (x+y) .
2 |x+y|
Очевидно, x⊕x=x и
|x|+|y|
|x⊕y| = ──────── .
2
Операция ⊕ коммутативна, но не ассоциативна. Хотя видимо трансассоциативна:(x⊕z)⊕(z⊕y) = (x⊕y)⊕z
в частности, при z = x⊕y
(x⊕(x⊕y))⊕((x⊕y)⊕y) = x⊕y
Каково порождаемое операцией ⊕ множество в общем случае?
Ясно, что оное множество лежит на плоскости с базисом из векторов x и y и можно без потери общности перейти к 2-мерному случаю. Для удобства положим вектор x как горизонтальный орт [c,0], а вектор y - [z, ±√( (βc)2-z2) ] так, что |x|=с и |y|=β|x|=βс, где z варьируется.
Тогда x+y=[c+z, ±√( (βc)2-z2) ], |x|+|y|=(1+β)c и |x+y|= √((c+z)2+(βc)2-z2) = c√(1+β2+2z/c).
таким образом
1+β
x⊕y = ────────────── [c+z, ±√((βc)2-z2)] .
2√(1+β2+2z/c)
При β=1 имеем
c
x⊕y = ─── [√(1+z/c), ±√(1-z/c)] .
√2
При |x|=|y| получаем |x⊕y|=|x|=|y| и, стало быть,
множество всех векторов, порождаемых операцией ⊕ из
начальных векторов x и y, является подмножеством точек
дуги окружности с концами x и y. В частности при y=-x,
|x⊕y| дает два вектора, ортогональных векторам x и y,
а порождаемое множество образует окружность.
Если y=βx, где β - действительное число, то
|y|=|β||x|, x+y=(1+β)x, |x|+|y|=(1+|β|)|x|, |x+y|=(1+β)|x|
и, сл-но,
1+|β|
x⊕βx = ────── x .
2
т.е. порождаемое множество - отрезок прямой с концами x и βx.
