az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?

Оригинал взят у furia_krucha в Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?
Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка.

Изначальная формулировка теоремы Гёделя — полностью синтаксическая: если формальная теория из определённого класса непротиворечива, то она и неполна. Метафизический флёр ей придаёт семантический „довесок“ (точнее „долив“) — замечание о том, что недоказуемое гёделево высказывание истинно. Откуда и делается неутешительный вывод



формальные теории принципиально ущербны (неполны): они не могут доказать некоторые истинные высказывания.



Что же, в данном случае, понимается под истинностью? А то, что гёделево высказывание выполняется в „стандартной модели“ (no relation) арифметики, где термам формальной теории „из определённого класса“ сопоставляются выражения из обычных натуральных чисел и арифметических операций. Понятно, что непредвзятый наблюдатель (не постулирующий заранее, что модель важнее формальной теории) мог бы сделать совершенно симметричное заключение:



модели принципиально ущербны (переполнены): в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют.



Вот две точки зрения: первая считает первоначальной истину, вторая доказательство. Действительно ли они равноправны? Конечно нет, однако не по той причине (и не в ту сторону), как обычно полагают. Дело в том, то „синтаксис“, т.е. формальная теория и сопутствующее ей понятие доказательства — один, а соответствующих ему моделей (в которых определена истинность) — много. Поэтому синтаксические понятия, включая доказательство, обладают выделенным статусом, по отношению к массе возможных моделей. Более того, как успокаивает нас теорема Гёделя о полноте (более важная, чем её знаменитая почти-тёзка) высказывание доказуемо тогда и только тогда, когда оно истинно во всех моделях. Значит недоказуемое высказывание, вроде гёделевого, обязательно ложно в некоторых моделях:



модели принципиально ущербны: в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют и которые необходимо ложны в других моделях (т.е. модели обязательно противоречат друг другу).



Представление о первичности истинности по отношению к доказательству и содержимого по отношению к форме очень древнее и распространённое. Вот некоторые его проявления:

  • математические объекты существуют автономно и независимо от нас;

  • классический натуральный ряд (т.е. инициальная модель аксиом Пеано) обладает особым статусом среди всех моделей;

  • математика есть неформализуемое созерцание эйдосов;

  • на самом деле Пятый Постулат Евклида (в совр. варианте — континуум гипотеза, аксиома выбора) верен (не верен);

  • „Какая сложная у тебя профессия: у меня столько идей, а не могу написать ни строчки“ — жалоба Э. Моне Малларме.


А вот как выглядит противоположная точка зрения:

  • Лейбниц не мог знать телефона Анны Карениной;

  • математика есть комбинаторная деятельность, как и сочинение сонетов, кулинария и военное искусство;

  • варьировать нижележащую теорию множеств (и даже логику) так же естественно и полезно, как и локальную систему координат;

  • „Стихи, мой друг, пишутся из слов, а не из идей“.


Не претендуя на историческую достоверность, первую систему взглядов можно назвать „вавилонской“ — жители Междуречья знали и использовали много полезных математических истин, но идея их доказательства в систематической форме им была неинтересна. Вторая же позиция, несомненно, греческая — торговцы и софисты не переставая что-то доказывали, включая и вещи совершенно бесполезные: „Со времён греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство»“ (Н. Бурбаки).

Шутка.

_________________________________________________________________

итак,  " греки" против "вавилонян".

"греки" (перипатетики) понимают сущность как формальную доказуемость, т.е. выводимость
по формальным правилам формул или их отрицаний (игра в бисер).

"вавилоняне" (платоники) созерцают сущности как вечные надмирные эталоны вещей.

а третьи слагают стихи не из идей и слов, но из энергий и разного сора
и берут плоды и женщин без доказательств и надмирности :)

три образа [без]действия

на сладкое - HARMONIST

ЗЫ
Инициальная модель Пеано
x=y → (x=z→y=z), ¬(x'=0);
x=y → x'=y', x'=y' → x=y ;
x+0 = x, x+y' = (x+y)';
x∙0 = 0, x∙y' = (x∙y)+x;
(F(0)∧(∀x)(F(x)→F(x'))) → (∀x)(F(x)) 
Tags: восток, запад, математика, теорема Гёделя
Subscribe

  • Зеркало времени

    русское искусство начала и конца сов.эпохи было не хуже русского искусства Серебренного века, которому наследовало, и по психоделикё не на много…

  • Тьма сознания

    кит.художник Чжоу Сун и ритмы снов положи себя в карман где живет слепой кайман он тебя поймает съест и поставит жирный крест в клетке тесной и…

  • Символизм vs Декадентство

    мы полностью согласны с истинно русским пониманием природы Символизма и Декадентства как антагонистических направлений в искусстве конца 19 - 20 вв:…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 1 comment