az118 (az118) wrote,
az118
az118

Category:

Гамма-распределение вероятностей с целым неотрицательным n

непрерывной случайной величины x с областью значений от 0 до +бесконечности

положим
qk (c,x) = cxk exp(-cx) = v u '

очевидно
q0 (c,x) dx = с exp(-cx) = q0 (c,x)

далее интегрируем по частям:
[v u ' dx] = u v - [u v ' dx]
v = xk; u ' = c exp(-cx); u = -exp(-cx); v ' = k xk-1;
qk (c,x) dx = -xk exp(-cx) + k/c [cx k-1 exp(-cx) dx] = -xk exp(-cx) - k/c [qk-1 (c,x) dx] =
= -xk exp(-cx) - k/c xk-1 exp(-cx) + k(k-1)/c2 [qk-2 (c,x) dx] =...=
= -[xk+kxk-1/c+k(k-1)xk-2/c2+...+k!/ck] exp(-cx)

Sk (c) = ∫ [qk (c,x) dx] [0;∞] = [xk+kxk-1/c+k(k-1)xk-2/c2+...+k!/ck] exp(-cx) [0;∞] = k! / ck


плотность n-Гамма-распределения:

pn (c,x) = qn (c,x) / Sn (c) = c(cx)n / (n!) exp(-cx) , n=0,1,2...

моменты:

mn,k (c) = [xk pn (c,x) dx] [0;∞] = [qn+k (c,x) dx] [0;∞] / Sn (c) = Sn+k (c) / Sn (c) = (n+1)(n+2)...(n+k) / сk

матожидание:

En (c) = mn,1 (c) = [x pn (c,x) dx] [0;∞] = [qn+1 (c,x) dx] [0;∞] / Sn (c) = Sn+1 (c) / Sn (c) = (n+1) / с

дисперсия:

Dn (c) = mn,2 (c) - [mn,1 (c)]2 = (n+1)(n+2) / c2 - ((n+1) / c)2 = (n+1) / c2

мода:

modn (c) = n / c


________________________________________________________
Очевидно, что ∑ n=0,1.... pn (c,x) = с [ ∑ n=0,1.... (cx)n/(n!) ] exp(-cx) = с exp(cx) exp(-cx) = с

положим y=cx и получим распределение Пуассона

дискретной случайной величины n с областью значений 0,1,2,...,  +бесконечность:

pn (y) = pn (c,x) / c = yn / n! exp(-y)

моменты:

mk (y) = n=0,1.... nk pn (y)

матожидание:

En (y) = m1 (y) = y

дисперсия:

D (y) = m2 (y) - [m1 (y)]2 = y(y+1) - y2 =
Tags: n-Гамма-распределение вероятн, математика, теория вероятностей
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments