az118 (az118) wrote,
az118
az118

MV и булевы алгебры

MV-алгебра – структура (A,0,~,+), где (A,0,+) – коммутативный моноид,
x+y = y+x, (x+y)+z = x+(y+z), x+0 = x,
и ~~x = x, x+~0 = ~0, ~(~x+y)+y = ~(~y+x)+x .  (6 аксиом)

Определим 1 = ~0, x•y = ~ (~x+~y), x -> y = ~x+y.
Тогда 0 = ~1, x+1 = 1, x•1 = ~(~x+~1) = ~(~x+0) = ~~x = x, x•0 = ~(~x+~0) = ~~0 = 0,
x•y = ~(~x+~y) = ~(~y+~x) = y•x
(x•y)•z = ~(~( ~(~x+~y) )+~z) = ~(~x+~y+~z) = ~(~x+~( ~(~y+~z) ) ) = x•(y•z)
(x -> y) -> y = (y -> x) -> x

B-алгебра – структура (A,0,~,+), где (A,0,+) – коммутативный моноид,
x+y = y+x, (x+y)+z = x+(y+z), x+0 = x,
и ~~x = x, x+~0 = ~0, x+~x = ~0,
~(~(x+y)+~z) = ~(~x+~z)+~(~y+~z),
~(~x+~y)+ z = ~(~(x+z)+~(y+z)).  (8 аксиом)

Определим 1 = ~0, x•y = ~(~x+~y), x -> y = ~x+y.
Тогда 0 = ~1, x+1 = 1, x+~x = 1, (x+y)•z = x•z+y•z, (x•y)+z = (x+z)•(y+z) и
x•~x = ~(~x+~~x) = ~(~x+x) = ~1 = 0
x•0 = ~(~x+~0) = ~~0 = 0,
x•1 = ~(~x+~1) = ~(~x+0) = ~~x = x,
x•y = ~(~x+~y) = ~(~y+~x) = y•x
(x•y)•z = ~(~( ~(~x+~y) )+~z) = ~(~x+~y+~z) = ~(~x+~( ~(~y+~z) ) ) = x•(y•z),
(x+y)•y = (x+y)•(0+y) = (x•0)+y = 0+y = y,
(x•y)+y = (x•y)+(1•y) = (x+1)•y = 1•y = y, 

Таким образм, B-алгебра получается из MV-алгебры 
заменой последней аксиомы ~(~x+y)+y = ~(~y+x)+x  на три: 
x+~x = ~0,   ~(~(x+y)+~z) = ~(~x+~z)+~(~y+~z),   ~(~x+~y)+ z = ~(~(x+z)+~(y+z))

update:
Впрочем, легко видеть, что B-алгебра - это просто дистрибутивная MV-алгебра. 
Subscribe

  • о т.н. 10 заповедях

    чтобы понять их природу, надо задать два вопроса: 1. каково их истинное содержание. 2. кому и почему они были даны. так вот, содержание их…

  • о простоте, сложности и "богоизбранном" народе

    согласно христианскому богословию, сущность Бога, который есть превечная Прсв. Троица, предельна проста, ибо все сложное есть сложенное из многого и…

  • Генетическая история народов

    европейцы, славяне, русские, скифы, сарматы, меоты, американские индейцы а арии (ИРАНЦЫ) у этой девочки почему-то из Европы на восток…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments