Четверной моноид

Четверной моноид – абелев моноид A_4,0 = áA_4,0,0,1,+ñ  порядка 4 с единицей,  все элементы которого являются идемпотентами: x+0=x, x+1=1, x+x=x. Пусть A_4,0={0, a, b, 1}. Очевидно, что существует только два вида четверного моноида:

- дизъюнктивный при a+b=b, используемый в четырехзначной логике;

- булевый при a+b=1.

Элементы 0, a, b, 1 естественно интерпретировать как множества:

0 – пустое, 1 – полное, a и b – подмножества, причем в первом случае a будет подмножеством b и 0, a, b, 1, A_4,0 полностью подобны ординалам 0,1,2,3,4. В случае булева четверного моноида a будет дополнением к b, а сам моноид – полем. Операция «+» в точности соответствует объединению, с которым дуально сопряжено пересечение в качестве произведения-конъюнкции.