?

Log in

No account? Create an account

...над гнездом...

Loadour Earrowwing

Entries by category: авто

о степенях ординала omega - ω
red dragon
az118
Ординал ω содержит все конечные ординалы вида 0 и p+1={0,1,...,p}.

Ординал ω2 содержит все ординалы вида ωp+q, p,q=0,1,2... .
ωp+q не пара натур.чисел, но биективная функция от пары.
Отсюда биекция ω2 на декартов квадрат множества ω.

В общем, ωk содержит все ординалы вида ωk-1pk-1 +...+ ωp1 + p0 и,
являясь функцией от p0,...,pk-1=0,1,2,..., биецируется на декартову
k-ю степень множества ω. Причем, k - предельная мощность
последовательности ненулевых p0,...,pk-1 и одной из
последовательностей будет {0,1,...,k-1} = k.

Но тогда ординал ωω, будучи пределом ряда ωk, содержит
все "линейные" комбинации меньших ординалов с предельной
мощностью последовательностей ненулевых p0,...,pk,..., равной ω,
и одна из последовательностей в точности совпадет с ω.

Данное обстоятельство обусловлено квантором все, входящем в
определение ординала ω как ординала всех конечных ординалов,
который бесконечен.


                                                              0
                              0               0       0   0 0─┤
              0       0   0 0─┤       0   0 0─┤   0 0─┤ 0─┴───┤
      0   0 0─┤   0 0─┤ 0─┴───┤   0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤
  0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤ 0─┴───┴───────┴───────────────┤
0─┴───┴───────┴───────────────┴───────────────────────────────┴─► 
0 1   2       3               4                               5   ω

графическое представление начала ряда ординалов ω с 0 по 5-й.     

Легко видеть, конечный ординал k > 0 представляет собой двоичное
дерево с 2k-1 листьев - терминальных субэлементов, каковыми является
ординал 0. Ординал ω, будучи пределом конечных ординалов, является
бесконечным двоичным деревом,  мощность множества листьев которого
равна 2ω. Каждый из путей от корня дерева до одного из его листьев
определяет соответствующее ему подмножество ординала k-1 для
конечного ординала k или ординала ω для ординала ω.

Структурно ординал ω изоморфен дереву Пифагора:




конечные группы с двумя образующими
red dragon
az118
I. полностью определенные тремя соотношениями:

   G = < A,B | Am=Bn=(AB)k=1 >

1. m=n=k=2: четверная группа Клейна K4 = < A,B | A2=B2=(AB)2=1 >.
2. m=n=k=4: группа кватернионов Q8 = < A,B | A4=B4=(AB)4=1 >.
3. m=n=2, k=4: 2-операторная группа GL(2) = < A,B | A2=B2=(AB)4=1 >.


II. группа перестановок:

симметрическая группа 
Sn = < A,B | (B-k(BA)k)k+1=(BA)n-1=1 for k=1,...,n-1 >. 
Легко видеть, что A2=Bn=1.

_____________________________________________________
Если G = < A,B > - группа с образующими A,B,
то < X > - цикл (циклическая подгруппа) с образующей X,
|X| = |< X >| - порядок элемента X, |G| = |A,B| - порядок группы G,
(G:H) - индекс подгруппы H группы G и |G| = (G:H)|H| (теорема Лагранжа).

Понятно, что m=|A|, k=|AB|=|BA| и |G| = (G:A) |A| = (G:B) |B| = (G:AB) |AB|.

Также ясно, что |X| = |Y-1XY| для любых X и Y,
т.е. порядок инвариантен относительно сопряжения.

Пусть < C > = < A > ⋂ < B > - общий подцикл образующих циклов.

Тогда C = A (A:C) = B (B:C),  |A| = (A:C)|C|,  |B| = (B:C) |C|,
(G:C) = (G:A) (A:C) = (G:B) (B:C)  и  (G:AB)  или  |AB| кратно |C|.

Цикл < C > находится в центре Z(G) группы G, причем,
< C > ⊂Z(G)=если группа абелева, и < C > = Z(G) ⊂ G если нет.