Category: авто

red dragon

конечные группы с двумя образующими

I. полностью определенные тремя соотношениями:

   G = < A,B | Am=Bn=(AB)k=1 >

1. m=n=k=2: четверная группа Клейна K4 = < A,B | A2=B2=(AB)2=1 >.
2. m=n=k=4: группа кватернионов Q8 = < A,B | A4=B4=(AB)4=1 >.
3. m=n=2, k=4: 2-операторная группа GL(2) = < A,B | A2=B2=(AB)4=1 >.


II. группа перестановок:

симметрическая группа 
Sn = < A,B | (B-k(BA)k)k+1=(BA)n-1=1 for k=1,...,n-1 >. 
Легко видеть, что A2=Bn=1.

_____________________________________________________
Если G = < A,B > - группа с образующими A,B,
то < X > - цикл (циклическая подгруппа) с образующей X,
|X| = |< X >| - порядок элемента X, |G| = |A,B| - порядок группы G,
(G:H) - индекс подгруппы H группы G и |G| = (G:H)|H| (теорема Лагранжа).

Понятно, что m=|A|, k=|AB|=|BA| и |G| = (G:A) |A| = (G:B) |B| = (G:AB) |AB|.

Также ясно, что |X| = |Y-1XY| для любых X и Y,
т.е. порядок инвариантен относительно сопряжения.

Пусть < C > = < A > ⋂ < B > - общий подцикл образующих циклов.

Тогда C = A (A:C) = B (B:C),  |A| = (A:C)|C|,  |B| = (B:C) |C|,
(G:C) = (G:A) (A:C) = (G:B) (B:C)  и  (G:AB)  или  |AB| кратно |C|.

Цикл < C > находится в центре Z(G) группы G, причем,
< C > ⊂Z(G)=если группа абелева, и < C > = Z(G) ⊂ G если нет.