?

Log in

No account? Create an account

...над гнездом...

Loadour Earrowwing

Entries by category: авто

Теория групп: сопряжение и коммутация
red dragon
az118
Пусть G  – группа,  a,b,cG  и  P,S ⊆ G

Тогда  aS={ax: xS },  PS={xy: xP, yS },  S-1={x-1: xS }. 

Если SS=S=S-1, то S  подгруппа группы G, причем для конечного S  достаточно условия SS=S.


Элемент сопряжен с элементом  cb=aba-1 посредством элемента a.
Элемент c=[a,b]=aba-1b-1=(ab)(ba)-1  называется коммутатором элементов a и b.
Коммутант  G'  группы G  –  подгруппа, порожденная всеми коммутаторами группы G..

Элемент самосопряжен относительно элемента a, если, и только если, [a,b]=1. 
Тогда  b=aba-1, элемент a самосопряжен относительно элемента b и элементы a и b коммутируют.

Элемент самосопряжен, если, и только если, он самосопряжен относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми ее элементами.

Множество сопряжено с множеством  PS=aSa-1 посредством элемента a.
Множество P=[a,S]=aSa-1S-1 называется коммутатором элемента a и множества S.

Множество самосопряжено относительно элемента a, если, и только если, aSa-1=S.
Тогда  множество коммутирует с элементом a в целом.

Множество самосопряжено, если, и только если, оно самосопряжено относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми элементами в целом.


Нормализатор NG(S) множества S  – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S в целомNG(S)={xG: xS=Sx }={xG: xSx-1=S }. Ясно, что NG(S) подгруппа  группы G.  Множество S самосопряжено относительно своего нормализатора и любого его элемента.  Нормализатор подгруппы содержит ее.

Подгруппа H самосопряжена (нормальна) в G, если, и только если, NG(H)=G, или, иначе, xHx-1=H для любого xG. Любая подгруппа самосопряжена в своем нормализаторе. xyH=xyHH=xHyH  и H=HH=xHx-1H  для любых x,yG.


Централизатор ZG(S) множества S  – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S поэлементноZG(S)={xG: xy=yx, yS }. Ясно, что ZG(S) подгруппа нормализатора NG(S). Каждый элемент множества S самосопряжен относительно своего централизатора и любого его элемента.  Централизатор элемента a  совпадает с его нормализатором: ZG(a)=NG(a). Нетрудно видеть, что ZG(S1S2)=ZG(S1)ZG(S2). В частности, если S={s1,s2,…,sn}, то ZG(S)=ZG(s1,s2,...,sn)=ZG(s1)ZG(s2)ZG(sn).

Центр Z(S) множества S  – множество всех элементов множества S, коммутирующих с S поэлементно. Ясно, что Z(S)=SZG(S)Центр подгруппы H – нормальная подгруппа подгруппы H  и ее централизатора. 

Подгруппа H абелева в G, если, и только если, Z(H)=H.
Группа G абелева, если, и только если, каждый ее элемент самосопряжен относительно всех элементов группы: Z(G)=G.


В общем, если H – подгруппа, то 

xHx-1  –  подгруппа, сопряженная с H,
|H| = |xHx-1|,  |b| = |xbx-1|,  |bc| = |b(cb)b-1| = |cb|,  


Z(H⊆ H ⊆ NG(H⊆ G,
Z(H⊆ ZG(H⊆ NG(H⊆ G,  
|G(G:NG(H))  (NG(H):H)  (H:Z(H))  |Z(H)| (G:NG(H))  (NG(H):ZG(H))  (ZG(H):Z(H))  |Z(H)|.


Теорема Кели

Всякая группа изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы SG.

В самом деле, выражение  bx =  при фиксированном  представляет собой автобиекцию группы G. Но автобиекции множества суть элементы  симметрической группы для этого множества. Стало быть, множество всех автобиекций группы G, порождаемых групповой композицией, равномощно множеству G и является подгруппой симметрической группы SG.



о степенях ординала omega - ω
red dragon
az118
Ординал ω содержит все конечные ординалы вида 0 и p+1={0,1,...,p}.

Ординал ω2 содержит все ординалы вида ωp+q, p,q=0,1,2... .
ωp+q не пара натур.чисел, но биективная функция от пары.
Отсюда биекция ω2 на декартов квадрат множества ω.

В общем, ωk содержит все ординалы вида ωk-1pk-1 +...+ ωp1 + p0 и,
являясь функцией от p0,...,pk-1=0,1,2,..., биецируется на декартову
k-ю степень множества ω. Причем, k - предельная мощность
последовательности ненулевых p0,...,pk-1 и одной из
последовательностей будет {0,1,...,k-1} = k.

Но тогда ординал ωω, будучи пределом ряда ωk, содержит
все "линейные" комбинации меньших ординалов с предельной
мощностью последовательностей ненулевых p0,...,pk,..., равной ω,
и одна из последовательностей в точности совпадет с ω.

Данное обстоятельство обусловлено квантором все, входящем в
определение ординала ω как ординала всех конечных ординалов,
который бесконечен.


                                                              0
                              0               0       0   0 0─┤
              0       0   0 0─┤       0   0 0─┤   0 0─┤ 0─┴───┤
      0   0 0─┤   0 0─┤ 0─┴───┤   0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤
  0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤ 0─┴───┴───────┴───────────────┤
0─┴───┴───────┴───────────────┴───────────────────────────────┴─► 
0 1   2       3               4                               5   ω

графическое представление начала ряда ординалов ω с 0 по 5-й.     

Легко видеть, конечный ординал k > 0 представляет собой двоичное
дерево с 2k-1 листьев - терминальных субэлементов, каковыми является
ординал 0. Ординал ω, будучи пределом конечных ординалов, является
бесконечным двоичным деревом,  мощность множества листьев которого
равна 2ω. Каждый из путей от корня дерева до одного из его листьев
определяет соответствующее ему подмножество ординала k-1 для
конечного ординала k или ординала ω для ординала ω.

Структурно ординал ω изоморфен дереву Пифагора: